Момент случайной величины

Моме́нт случа́йной величины́, числовая характеристика распределения вероятностей. Момент порядка ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle k}$ – натуральное число) действительной случайной величины ${\displaystyle X}$ определяется как математическое ожидание ${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}}$ случайной величины ${\displaystyle X^{k}}$, если оно существует. Если ${\displaystyle F(x)}$ – функция распределения случайной величины ${\displaystyle X}$, то

${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,dF(x)}$

при условии, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если ${\displaystyle X}$ принимает значения ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ с вероятностями ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$, то

${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }x^{k}p_{k}}$

при условии, что ряд сходится абсолютно; если распределение ${\displaystyle X}$ имеет плотность ${\displaystyle p(x)}$, то

${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}p(x)\,dx}$

при условии, что интеграл сходится абсолютно.

Величина ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X-a)^{k}}$ называется моментом порядка ${\displaystyle k}$ относительно ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X-{\mathsf {E}}X)^{k}}$ – центральным моментом порядка ${\displaystyle k}$. Центральный момент 2-го порядка ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X-{\mathsf {E}}X)^{2}}$ называется дисперсией и обозначается ${\displaystyle {\mathsf {D}}X}$. Величина ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X|^{k}}$, ${\displaystyle k}$ – положительное число, называется абсолютным моментом случайной величины ${\displaystyle X}$ порядка ${\displaystyle k}$. По определению считается, что момент и абсолютный момент нулевого порядка любой случайной величины равны единице.

Для абсолютных моментов справедливо неравенство Ляпунова ${\displaystyle ({\mathsf {E}}|X|^{s})^{1/s}{\leqslant }({\mathsf {E}}|X|^{k})^{1/k}}$, при ${\displaystyle 0{<}s{<}k}$, полученное А. М. Ляпуновым (1900), из которого следует, в частности, что из существования момента порядка ${\displaystyle k}$ следует существование всех моментов меньших порядков.

Момент порядка ${\displaystyle k}$ совместного (многомерного) распределения случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ определяется как ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X_{1}^{k_{1}}\ldots X_{n}^{k_{n}})}$, где ${\displaystyle k_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, – неотрицательные целые числа, ${\displaystyle k_{1}+\ldots +k_{n}=k}$, и называется смешанным моментом порядка ${\displaystyle k}$, а ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X_{1}-{\mathsf {E}}X_{1})^{k_{1}}\ldots (X_{n}-{\mathsf {E}}X_{n})^{k_{n}}}$ – центральным смешанным моментом порядка ${\displaystyle k}$. Смешанный момент ${\displaystyle {\mathsf {E}}(X_{1}-{\mathsf {E}}X_{1})(X_{2}-{\mathsf {E}}X_{2})}$ называется ковариацией и служит одной из основных характеристик зависимости между случайными величинами.

Если известны моменты распределения, то можно сделать некоторые утверждения о вероятностях отклонения случайной величины от её математического ожидания в терминах неравенств; наиболее известны неравенство Чебышёва

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{|X-{\mathsf {E}}X|{\geqslant }\epsilon \}{\leqslant }{\frac {{\mathsf {D}}X}{\epsilon ^{2}}},\quad \epsilon {>}0}$,

и его обобщения. Значения моментов случайных величин входят в формулировки многих утверждений теории вероятностей.

Задача, состоящая в определении распределения вероятностей последовательностью его моментов, носит название проблемы моментов. Эта задача впервые рассматривалась П. Л. Чебышёвым (1874) в связи с исследованиями по предельным теоремам теории вероятностей. Для того чтобы распределение вероятностей случайной величины однозначно определялось своими моментами ${\displaystyle \alpha _{k}={\mathsf {E}}X^{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, достаточно, например, выполнения условия Карлемана

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }(\alpha _{2k})^{-1/(2k)}={\infty }}$.

Одним из простейших примеров распределения, которое не определяется однозначно своими моментами, является логарифмически-нормальное распределение.

В математической статистике для статистической оценки параметров распределения служат выборочные моменты (см. Выборочная характеристика).