Распределения Эрланга

Распределе́ния Э́рланга, распределения вероятностей на ${\displaystyle [0,\infty )}$ с плотностями

${\displaystyle \lambda {\frac {(\lambda x)^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-\lambda x},}$

где ${\displaystyle \lambda >0}$ и натуральное число ${\displaystyle n}$ – параметры. Математические ожидания и дисперсии распределений Эрланга суть ${\displaystyle n/\lambda }$ и ${\displaystyle n/\lambda ^{2}}$ соответственно. При ${\displaystyle n=1}$ распределение Эрланга является показательным распределением с параметром ${\displaystyle \lambda }$. Если ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ – независимые случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром ${\displaystyle \lambda }$, то их сумма ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}}$ имеет распределение Эрланга с параметрами ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle n}$ или, что то же самое, ${\displaystyle n}$-кратная свёртка показательного распределения есть распределение Эрланга.

Распределение Эрланга названо по имени датского инженера А. Эрланга, построившего (1909) первые математические модели в телефонии. Иногда распределениями Эрланга называются распределения, отличающиеся от указанных масштабным преобразованием.