Z-распределение Фишера

z'''-распределе́ние Фи́шера, распределение случайной величины, равной половине логарифма переменной, подчиняющейся F-распределению Фишера: ${\displaystyle \displaystyle z={\frac {1}{2}}\log F}$.

z-распределение Фишера – непрерывное, сосредоточенное на всей прямой распределение вероятностей с плотностью

${\displaystyle f(x)=2m_{1}^{\frac {m_{1}}{2}}m_{2}^{\frac {m_{2}}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}\right)e^{m_{1}x}}{\Gamma \left({\frac {m_{1}}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}}{2}}\right)(m_{1}e^{2x}+m_{2})^{\frac {m_{1}+m_{2}}{2}}}}}$.

Параметры ${\displaystyle m_{1}\geqslant 1}$ и ${\displaystyle m_{2}\geqslant 1}$ называются степенями свободы. Характеристическая функция имеет вид

${\displaystyle \varphi (t)=\left({\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)^{\frac {it}{2}}{\dfrac {\Gamma \left({\frac {m_{1}+it}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}-it}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m_{1}}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {m_{2}}{2}}\right)}}}$.

Математическое ожидание и дисперсия равны соответственно ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{m_{2}}}-{\dfrac {1}{m_{1}}}\right)}$ и ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\left({\dfrac {1}{m_{2}}}+{\dfrac {1}{m_{1}}}\right)}$.

Если случайная величина ${\displaystyle F}$ имеет F-pacпределение Фишера с ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ степенями свободы, то величина ${\displaystyle z={\dfrac {1}{2}}\ln {F}}$ имеет z-pаспределение Фишера с ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$ степенями свободы.

Вместе с F-pacпределением Фишера, известным как распределение дисперсионного отношения, z-pаспределение Фишера было введено первоначально в дисперсионный анализ Р. Фишером (Fisher. 1924^[1]). По его замыслу z-pаспределение должно было бы стать основным распределением при проверке статистических гипотез в дисперсионном анализе. z-pаспределение Фишера было тогда же табулировано и первые исследования относились к статистике ${\displaystyle z}$, однако в современной математической статистике используют более простую статистику ${\displaystyle F}$.