Бета-распределение

Бе́та-распределе́ние, непрерывное сосредоточенное на ${\displaystyle (0,1)}$ распределение вероятностей с плотностью

${\displaystyle \beta _{m,n}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}x^{m-1}(1-x)^{n-1},}$ (1)

где параметры ${\displaystyle m,n}$ неотрицательны и нормирующий множитель ${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)}$ есть бета-функция Эйлера

${\displaystyle \mathrm {B} (m,n)=\int \limits _{0}^{1}x^{m-1}(1-x)^{n-1}\,dx={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$

[${\displaystyle \Gamma (n)}$ – гамма-функция]. Функция распределения выражается через неполную бета-функцию

${\displaystyle \mathrm {B} _{m,n}(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}\int \limits _{0}^{x}y^{m-1}(1-y)^{n-1}\,dy,\quad 0<x<1}$

(эта функция табулирована, см. Большев. 1968^[1]; Пирсон. 1974^[2]). Моменты бета-распределения выражаются формулой

${\displaystyle m_{k}={\frac {\mathrm {B} (m+k,n)}{\mathrm {B} (m,n)}},\quad k=1,2,\ldots }$;

в частности, математическое ожидание и дисперсия равны ${\displaystyle m/(m+n)}$ и ${\displaystyle mn/(m+n)^{2}(m+n+1)}$ соответственно. Если ${\displaystyle m>1}$ и ${\displaystyle n>1}$, то кривая плотности ${\displaystyle \beta _{m,n}(x)}$ имеет единственную точку максимума ${\displaystyle x=(m-1)/(m+n-2)}$ и обращается в нуль на концах интервала. Если ${\displaystyle m<1}$ или ${\displaystyle n<1}$, то одна из крайних ординат графика бесконечна, а если и ${\displaystyle m<1}$, и ${\displaystyle n<1}$, то обе ординаты на концах интервала бесконечны и кривая имеет U-образную форму. При ${\displaystyle m=1}$ и ${\displaystyle n=1}$ бета-распределение превращается в равномерное распределение в интервале ${\displaystyle (0,1)}$. Другим частным случаем бета-распределения является т. н. распределение арксинуса

${\displaystyle \beta _{1/2,\,1/2}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}$.

При замене в (1) ${\displaystyle x=1/(1+t)}$ получается распределение с плотностью

{{center|${\displaystyle \beta _{m,n}^{\prime }(t)={\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}\cdot {\frac {t^{m-1}}{(1+t)^{m+n-2}}},\quad 0<t<\infty \quad (2)}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ независимы и имеют гамма-распределения с параметрами ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, то случайная величина ${\displaystyle X_{1}/\left(X_{1}+X_{2}\right)}$ имеет бета-распределение с плотностью ${\displaystyle \beta _{m,n}(x)}$. Этот факт в большой степени объясняет ту роль, которую бета-распределение играет в приложениях, в частности в математической статистике: распределения многих важнейших статистик сводятся к бета-распределению. Например, функция распределения ${\displaystyle F}$-отношения</t<\infty.<></math>

${\displaystyle F_{m,n}={\frac {n\chi _{m}^{2}}{m\chi _{n}^{2}}}}$

(случайная величина ${\displaystyle \chi _{k}^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат с ${\displaystyle k}$ степенями свободы) выражается формулой

${\displaystyle {\mathsf {P}}\left(F_{m,n}<x\right)=\mathrm {B} _{{\frac {m}{2}},{\frac {n}{2}}}\left({\frac {mx}{n+mx}}\right)}$

(обычно значения F-распределения вычисляются с помощью таблиц бета-распределения). Функция бета-распределения позволяет также вычислять значения функций биномиального распределения, ввиду соотношения

${\displaystyle \mathrm {B} _{n-m,m+1}(1-p)=\sum _{k=0}^{m}C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

Бета-распределение находит применение не только в математической статистике: так, например, плотность бета-распределения является весовой функцией для системы ортогональных многочленов Якоби.