Свёртка функций

Свёртка фу́нкций ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$, новая функция

${\displaystyle \displaystyle h(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy}$.

Операция над функциями, задаваемая этим интегралом, также называется свёрткой и обозначается ${\displaystyle f*g}$. Если ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ – плотности распределений вероятностей независимых случайных величин ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle h}$ является плотностью распределения вероятностей суммы ${\displaystyle X+Y}$. Свёртка функций распределения ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ называется функция

${\displaystyle \displaystyle H(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(x-y)dG(y),}$ (*)

где интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Операция, задаваемая этим интегралом, обозначается ${\displaystyle F*G}$и также называется свёрткой. Если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ – функции распределения независимых случайных величин ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle H(x)=(F*G)(x)}$ является функцией распределения суммы ${\displaystyle X+Y}$. Если ${\displaystyle Y}$ принимает только значения ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots }$ с вероятностями ${\displaystyle q_{1},q_{2},\ldots }$, то интеграл в ${\displaystyle (*)}$ сводится к сумме

${\displaystyle \displaystyle H(x)=\sum _{k\geqslant 1}q_{k}F(x-y_{k})}$.

Операции свёртки коммутативны и ассоциативны, поэтому естественным образом определяется, например, многократная свёртка ${\displaystyle F^{*n}}$ одинаковых функций распределения ${\displaystyle F}$, которая является функцией распределения суммы ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}}$ независимых случайных величин с общей функцией распределения ${\displaystyle F}$, и справедливо, например, равенство

${\displaystyle \displaystyle F^{*n}-G^{*n}=\sum _{j=0}^{n-1}F^{*(n-j-1)}*G^{*j}*(F-G)}$,

которое является аналогом соответствующего равенства для степеней чисел.