Характеристическая функция случайной величины

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ ${\displaystyle X}$, математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle e^{itX}}$. Таким образом,

${\displaystyle f_{X}(t)={\mathsf {E}}e^{itX},}$

где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица, а ${\displaystyle t}$ (аргумент характеристической функции ${\displaystyle f_{X}(t)}$) – произвольное действительное число. Характеристическую функцию любой случайной величины ${\displaystyle X}$ можно вычислить, используя её функцию распределения ${\displaystyle F_{X}(x)=F(x)}$

${\displaystyle f_{x}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}dF(x),}$

где интеграл понимается в смысле Стилтьеса. Поэтому можно сказать, что характеристическая функция случайной величины есть преобразование Фурье – Стилтьеса её функции распределения.

Свойства характеристической функции:

• каждой случайной величине соответствует определённая характеристическая функция ${\displaystyle f_{X}(t)}$;
• распределение вероятностей для ${\displaystyle X}$ однозначно определяется по характеристической функции ${\displaystyle f_{X}(t)}$;
• при сложении независимых случайных величин их характеристические функции перемножаются;
• при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют характеристические функции, мало отличающиеся друг от друга, и обратно, близким характеристическим функциям соответствуют случайные величины с близкими распределениями.

Указанные свойства определяют огромное практическое значение характеристических функций в теории вероятностей; в частности, на них основано применение характеристических функций при доказательстве предельных теорем.

Впервые аппарат, по существу равнозначный применению характеристических функций, использован П.-С. Лапласом (1812), но вся сила метода характеристических функций была показана А. М. Ляпуновым' '(1900), получившим с его помощью свою известную теорему.

Иногда характеристической функцией подмножества ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle M}$ (индикатором ${\displaystyle A}$) называют функцию ${\displaystyle f_{A}(x)}$, равную ${\displaystyle 1}$ при ${\displaystyle x\in A}$ и равную ${\displaystyle 0}$ при ${\displaystyle x\in M\setminus A}$.