F-распределение Фишера

F'''-распределе́ние Фи́шера (распределение Фишера – Снедекора, распределение Снедекора) – непрерывное, сосредоточенное на ${\displaystyle (0,\infty )}$ распределение вероятностей с плотностью

${\displaystyle f_{\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}={\frac {1}{B\left(\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{2}},{\frac {\nu _{2}}{2}}\right)}}}$
${\displaystyle \left({\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}\right)^{\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{2}}}x^{{\dfrac {\nu _{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}x\right)^{-{\dfrac {\nu _{1}+\nu _{2}}{2}}},}$ (1)

где ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle \nu _{1}>0}$ и ${\displaystyle \nu _{2}>0}$ – параметры, а ${\displaystyle B(l_{1},l_{2})}$ – бета-функция. При ${\displaystyle \nu _{1}>2}$ это унимодальное (одновершинное), с положительной асимметрией распределение с модой в точке ${\displaystyle x=\displaystyle {\frac {\nu _{1}-2}{\nu _{1}}}\cdot {\frac {\nu _{2}}{\nu _{2}+2}}}$. Математическое ожидание и дисперсия F-распределения Фишера равны соответственно ${\displaystyle \nu _{2}/(\nu _{2}-2)\quad {\textrm {\text{при}}}\quad \nu _{2}>2}$ и ${\displaystyle \displaystyle {\frac {2\nu _{2}^{2}(\nu _{1}+\nu _{2}-2)}{\nu _{1}(\nu _{2}-2)^{2}(\nu _{2}-4)}}\quad {\textrm {\text{при}}}\quad \nu _{2}>4}$.

F-распределение Фишера сводится к бета-распределению 2-го рода (распределению типа 4 по классификации Пирсона). F-распределение Фишера можно рассматривать как распределение случайной величины, представимой в форме отношения

${\displaystyle \displaystyle F_{\nu _{1},\nu _{2}}=\nu _{1}X_{1}/\nu _{2}X_{2}}$,

где независимые случайные величины ${\displaystyle X_{1}}$ и ${\displaystyle X_{2}}$ имеют гамма-распределения с параметрами ${\displaystyle \nu _{1}/2}$ и ${\displaystyle \nu _{2}/2}$ соответственно. Функция распределения для ${\displaystyle F_{\nu _{1},\nu _{2}}}$ выражается через функцию распределения ${\displaystyle B_{l_{1},l_{2}}(x)}$ бета-распределения:

${\displaystyle \mathrm {P} \left\{F_{\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}<x\right\}=B_{\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{2}},{\frac {\nu _{2}}{2}}}}$
${\displaystyle \left(\displaystyle {\frac {\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}x}{1+\displaystyle {\frac {\nu _{1}}{\nu _{2}}}}}\right).}$ (2)

Это соотношение используется для вычисления значений F-распределения Фишера с помощью таблиц бета-распределения. Если ${\displaystyle \nu _{1}=m}$ и ${\displaystyle \nu _{2}=n}$ целые, то F-распределением Фишера с ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ степенями свободы называется распределение F-отношения

${\displaystyle F_{mn}=\displaystyle {\frac {\chi _{m}^{2}}{m}}/{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}},}$ (3)

где ${\displaystyle \chi _{m}^{2}}$ и ${\displaystyle \chi _{n}^{2}}$ – независимые случайные величины, имеющие хи-квадрат распределения с ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ степенями свободы соответственно.

F-распределение Фишера играет фундаментальную роль в математической статистике и появляется в первую очередь как распределение отношения двух выборочных дисперсий.

Именно: пусть ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$ и ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ – выборки из нормальных совокупностей с параметрами ${\displaystyle (a_{1},\sigma _{1})}$ и ${\displaystyle (a_{2},\sigma _{2})}$. Выражения

${\displaystyle s_{1}^{2}={\dfrac {1}{m-1}}\sum \limits _{i}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\quad \mathrm {\text{и}} \quad }$
${\displaystyle s_{2}^{2}={\dfrac {1}{n-1}}\sum \limits _{j}(Y_{j}-{\overline {Y}})^{2}}$,

где ${\displaystyle {\overline {X}}=\sum \limits _{i}X_{i}/m}$, ${\displaystyle {\overline {Y}}=\sum \limits _{j}Y_{j}/n}$, служат оценками дисперсий ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ и ${\displaystyle \displaystyle \sigma _{2}^{2}}$. Тогда т. н. дисперсионное отношение ${\displaystyle F={\dfrac {\sigma _{2}^{2}s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}s_{2}^{2}}}}$ имеет при гипотезе ${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$ F-распределение Фишера с ${\displaystyle m-1}$ и ${\displaystyle n-1}$ степенями свободы (в этом качестве F-распределение Фишера называют также распределением дисперсионного отношения). На статистике ${\displaystyle F}$ основан F-критерий, используемый, в частности, для проверки гипотезы равенства дисперсии двух совокупностей, в дисперсионном анализе, регрессионном анализе, многомерном статистическом анализе.

Универсальность F-распределения Фишера подчёркивается связями с другими распределениями. При ${\displaystyle m=1}$ квадрат величины ${\displaystyle F_{mn}}$ из (3) имеет распределение Стьюдента с ${\displaystyle n}$ степенями свободы. Существуют различные аппроксимации F-распределения Фишера с помощью нормального распределения и «хи-квадрат» распределения.

Введение в дисперсионный анализ F-распределения Фишера связано с именем Р. Фишера (R. Fisher, 1924), хотя сам Фишер использовал для дисперсионного отношения величину ${\displaystyle Z}$, которая связана с ${\displaystyle F}$ равенством ${\displaystyle Z={\dfrac {1}{2}}\log F}$. Распределение ${\displaystyle Z}$ было табулировано Р. Фишером, а F-распределение Фишера – Дж. Снедекором (G. Snedecor, 1937). В современной практике предпочитают более простое F-распределение Фишера, используя его связь с бета-распределением (2) и таблицы неполной бета-функции.