Плотность вероятности

Пло́тность вероя́тности, плотность распределения вероятностей случайной величины ${\displaystyle X}$, функция ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$, такая, что

${\displaystyle \displaystyle p(x)\geqslant 0,\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x)dx=1}$

и при любых ${\displaystyle a<b}$ вероятность события ${\displaystyle a<X<b}$ равна

${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a}^{b}p(x)\,dx}$.

Если ${\displaystyle p(x)}$ непрерывна, то при достаточно малых ${\displaystyle \Delta x}$ вероятность неравенства ${\displaystyle x<X<x+\Delta x}$ приближённо равна ${\displaystyle p(x)\Delta x}$ (с точностью до малых более высокого порядка). Функция распределения ${\displaystyle F(x)}$ случайной величины ${\displaystyle X}$, имеющей плотность, связана с плотностью вероятности равенствами

${\displaystyle \displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}p(u)du,\quad -\infty <x<\infty ,}$

и, если ${\displaystyle F(x)}$ дифференцируема, ${\displaystyle p(x)=F'(x)}$.

Случайные величины, имеющие плотность вероятности, называются непрерывно распределёнными случайными величинами, а их распределения – непрерывными (точнее, абсолютно непрерывными) распределениями.

Моменты ${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}}$ любого порядка ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$, таких случайных величин вычисляют по формулам

${\displaystyle \displaystyle {\mathsf {E}}X^{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x_{k}p(x)dx,}$

если интегралы абсолютно сходятся.

Аналогично определяют совместную плотность вероятности нескольких случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ (плотность вероятности совместного распределения):

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x_{1},\ldots ,x_{n})&\geqslant 0,\\\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ldots \int \limits _{-\infty }^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\ldots dx_{n}&=1,\end{aligned}}}$

и для любых ${\displaystyle a_{i}<b_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, вероятность одновременного выполнения неравенств ${\displaystyle a_{1}<X_{1}<b_{1},\ldots ,a_{n}<X_{n}<b_{n}}$ равна

${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{a_{1}}^{b_{1}}\ldots \int \limits _{a_{n}}^{b_{n}}p(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\ldots dx_{n}}$.

Если существует совместная плотность вероятности случайных величин ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$, то для их независимости необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность вероятности была произведением плотностей вероятности отдельных величин, т. е.

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=p_{1}(x_{1})\ldots p_{n}(x_{n}),}$

где ${\displaystyle p_{i}}$ – плотность вероятности величины ${\displaystyle X_{i},\,\,i=1,\ldots ,n}$. По совместной плотности вероятности случайных величин можно найти распределение вероятностей любой функции от этих величин; так, например, для двух независимых случайных величин с плотностями вероятности ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle p_{2}}$ плотность вероятности их суммы вычисляется по формуле свёртки

${\displaystyle \displaystyle p(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }p_{1}(x-y)p_{2}(y)dy}$.