Винеровский процесс

Ви́неровский проце́сс, однородный гауссовский процесс ${\displaystyle X(t)}$ с независимыми приращениями. Винеровский процесс служит одной из математических моделей для процесса броуновского движения. Простым преобразованием винеровский процесс может быть превращён в «стандартный» винеровский процесс ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$, для которого

${\displaystyle X(0)=0,\quad {\mathsf {E}}[X(t)-X(s)]=0}$
${\displaystyle {\mathsf {D}}[X(t)-X(s)]=t-s,\quad s\leqslant t;}$

при таких средних значениях и дисперсиях приращений это единственный непрерывный с вероятностью ${\displaystyle 1}$ процесс с независимыми приращениями. Ниже под винеровским процессом будет пониматься именно этот процесс.

Винеровский процесс ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, определяется также как гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией

${\displaystyle B(s,t)=\min(s,t)}$.

Винеровский процесс ${\displaystyle X(t}$), ${\displaystyle t\geqslant 1}$, может быть определён как однородный марковский процесс с переходной функцией

${\displaystyle P(t,x,\Gamma )=\int \limits _{\Gamma }p(t,x,y)\,dy}$,

где переходная плотность ${\displaystyle p(t,x,y)}$ есть фундаментальное решение параболического дифференциального уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}}$

и описывается формулой

${\displaystyle p(t,x,y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-(y-x)^{2}/2t}}$.

Переходная функция ${\displaystyle P(t,x,\Gamma )}$ инвариантна относительно преобразований сдвига в фазовом пространстве:

${\displaystyle P(t,x+y,\Gamma )=P(t,x,\Gamma -y)}$,

где ${\displaystyle \Gamma -y}$ обозначает множество ${\displaystyle \left\{z:z+y\in \Gamma \right\}}$.

Винеровский процесс является непрерывным аналогом случайного блуждания частицы, которая в дискретные моменты времени ${\displaystyle t=k\Delta t}$ (кратные ${\displaystyle \Delta t}$) в результате случайного воздействия каждый раз, независимо от предшествующих обстоятельств, смещается на величину ${\displaystyle \Delta X(t)}$ (${\displaystyle {\mathsf {E}}\Delta X(t)=0}$, ${\displaystyle {\mathsf {D}}\Delta X(t)=\Delta t}$); точнее, если при ${\displaystyle \Delta t=1/n}$

${\displaystyle X(t)=\sum _{k=0}^{m-1}\Delta X\left({\frac {k}{n}}\right)+(nt-m)\Delta X\left({\frac {m}{n}}\right),\quad 0\leqslant t\leqslant 1}$,

– случайная траектория движения такой частицы на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ (здесь ${\displaystyle \Delta t=1/n}$, ${\displaystyle m=[nt]}$ – целая часть ${\displaystyle nt}$, ${\displaystyle X(t)=nt\Delta X(0)}$ при ${\displaystyle 0\leqslant t<1/n}$), а ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{n}}$ – соответствующее распределение вероятностей в пространстве непрерывных функций ${\displaystyle x=x(t)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, то распределение вероятностей ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ траектории винеровского процесса ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$, является предельным (в смысле слабой сходимости) для распределений ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$: ${\displaystyle {\mathsf {P}}_{n}\Rightarrow {\mathsf {P}}}$.

Как функция со значениями в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ всех случайных величин ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {\mathsf {E}}X^{2}<\infty }$, в котором скалярное произведение определено формулой

${\displaystyle \langle X_{1},X_{2}\rangle ={\mathsf {E}}X_{1}X_{2}}$,

винеровский процесс ${\displaystyle X=X(t)}$, ${\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1}$ допускает следующее каноническое представление:

${\displaystyle X(t)=\sum _{k=0}^{\infty }z_{k}\varphi _{k}(t)}$,

где ${\displaystyle z_{k}}$ – независимые гауссовские величины:

${\displaystyle {\mathsf {E}}z_{k}=0,\quad {\mathsf {D}}z_{k}={\frac {1}{\left[{\dfrac {\pi }{2}}(2k+1)\right]^{2}}}}$
${\displaystyle \varphi _{k}(t)=\sin \left[{\frac {\pi }{2}}(2k+1)t\right],\quad k=0,1,\ldots ,}$

– собственные функции оператора ${\displaystyle B}$, определённого формулой:

${\displaystyle B\varphi (t)=\int \limits _{0}^{1}B(s,t)\varphi (s)\,ds}$

в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$ всех интегрируемых с квадратом (относительно лебеговской меры) функций ${\displaystyle \varphi =\varphi (t)}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$.

Для почти всех траекторий винеровского процесса имеют место следующие соотношения:

${\displaystyle \lim _{h\to \infty }{\frac {X(h)}{\sqrt {2h\ln \ln {\dfrac {1}{n}}}}}=1,\quad X(0)=0}$,

– закон повторного логарифма;

${\displaystyle \lim _{h\to {+}0}\sup _{0\leqslant t\leqslant \delta -h}{\frac {\mid X(t+h)-X(t)\mid }{\sqrt {2h\ln {\dfrac {\delta }{h}}}}}=1}$,

что характеризует модуль непрерывности на отрезке ${\displaystyle [0,h]}$;

${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\sum _{k=0}^{n-1}\mid \Delta X(kh)\mid ^{2}}$
${\displaystyle h=\delta /n,\quad \Delta X(t)=X(t+h)-X(t).}$

В применении к винеровскому процессу вида ${\displaystyle X_{1}(t)=tX{\Big (}{\dfrac {1}{t}}{\Big )}}$, ${\displaystyle 0\leqslant t<\infty }$, закон повторного логарифма записывается в форме:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {X(t)}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1}$.

Характер смещения броуновской частицы за конечное время ${\displaystyle t}$ может быть описан с помощью распределения вероятностей максимума ${\displaystyle \max \limits _{0\leqslant s\leqslant t}X(s)}$:

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\Bigl \{}\,\max \limits _{0\leqslant s\leqslant t}X(s)\geqslant x{\Bigr \}}={\frac {2}{\sqrt {2\pi t}}}\int \limits _{x}^{\infty }e^{-u^{2}/2t}\,du}$,

${\displaystyle 0\leqslant x<\infty }$, ${\displaystyle t}$ фиксировано, ${\displaystyle 0\leqslant t<\infty }$; а также с помощью распределения времени ${\displaystyle \tau }$ первого достижения броуновской частицей фиксированной точки ${\displaystyle x>0}$:

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{\tau _{x}\geqslant t\}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\int \limits _{0}^{x/{\sqrt {t}}}e^{-u^{2}/2t}\,du}$,

${\displaystyle 0\leqslant t<\infty }$, ${\displaystyle x}$ фиксировано, ${\displaystyle 0\leqslant x<\infty }$ (закономерности винеровского процесса остаются без изменения при преобразовании фазового пространства ${\displaystyle x\to -x}$). Совместное распределение точки максимума ${\displaystyle \tau ,0\leqslant \tau \leqslant t}$, и самого максимума ${\displaystyle \max \limits _{0\leqslant s\leqslant t}X(s)}$ имеет плотность вероятности

${\displaystyle p(s,x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {s(t-s)}}}}\,{\frac {x}{s}}\,e^{-x^{2}/2s}}$
${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t,\quad 0\leqslant x<\infty ,}$

а отдельно взятая точка ${\displaystyle \tau }$ (с вероятностью ${\displaystyle 1}$ имеется лишь один максимум на отрезке ${\displaystyle 0\leqslant s\leqslant t}$) распределена по закону арксинуса:

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{\tau \leqslant s\}={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\sqrt {\frac {s}{t}}},\quad 0\leqslant s\leqslant t}$,

с плотностью вероятности

${\displaystyle p(s)={\frac {1}{\pi {\sqrt {s(t-s)}}}},\quad 0\leqslant s\leqslant t}$.

Из приведённых выше формул легко выводятся следующие характерные свойства винеровского процесса. Броуновская траектория является нигде не дифференцируемой, причём при выходе из какой-либо точки ${\displaystyle x}$ эта траектория за сколь угодно малое время ${\displaystyle \delta }$ с вероятностью ${\displaystyle 1}$ бесконечно много раз пересекает «уровень» ${\displaystyle x}$ (возвращаясь в исходную точку); с течением времени ${\displaystyle t}$ броуновская траектория обходит все точки ${\displaystyle x}$; точнее, ${\displaystyle \tau _{x}<\infty }$ с вероятностью ${\displaystyle 1}$ (при этом вероятное значение ${\displaystyle \tau _{x}}$ для больших x имеет порядок ${\displaystyle x^{2}}$); рассматриваемая на фиксированном отрезке ${\displaystyle [0,t]}$, эта траектория имеет тенденцию достигать экстремальных значений вблизи концевых точек ${\displaystyle s=0}$ и ${\displaystyle s=t}$.

Для винеровского процесса как марковского однородного процесса существует инвариантная мера ${\displaystyle Q(dx)}$:

${\displaystyle Q(A)\equiv \int Q(dx)\,P(t,x,A)}$,

которая в силу упомянутого выше свойства инвариантности переходной функции ${\displaystyle P(t,x,A)}$ совпадает с лебеговской мерой на прямой: ${\displaystyle Q(dx)=dx}$. Время ${\displaystyle T(A)}$, проведённое броуновской частицей в множестве ${\displaystyle A}$ за промежуток от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle T}$, таково, что с вероятностью ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\ce {{\frac {T(A_{1})}{T(A_{2})}}->{\frac {Q(A_{1})}{Q(A_{2})}},\ \ \ \ {\text{при }}T\to \infty }}}$,

для любых ограниченных борелевских множеств ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$.

Аналогом винеровского процесса ${\displaystyle X=X(t)}$ для векторного параметра ${\displaystyle t=(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ являются случайные поля, введённые П. Леви (Lévy. 1965^[1]).