Фундаментальное решение

Фундамента́льное реше́ние линейного дифференциального уравнения с частными производными, решение дифференциального уравнения с частными производными ${\displaystyle Lu(x)=0}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, с коэффициентами класса ${\displaystyle C^{\infty }}$ в виде функции ${\displaystyle I(x,y)}$, удовлетворяющей при фиксированном ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{n}}$ уравнению

${\displaystyle LI(x,y)=\delta (x-y),\quad x\neq y}$,

которое понимается в смысле теории обобщённых функций, где ${\displaystyle \delta }$ – дельта-функция. Фундаментальное решение существует для всякого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, а также для произвольных эллиптических уравнений. Например, для эллиптического уравнения

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=0}$

с постоянными коэффициентами ${\displaystyle a_{ij}}$, образующими положительно определённую матрицу ${\displaystyle a}$, фундаментальным решением служит функция

${\displaystyle I(x,y)=\left\{{\begin{array}{l}{\left[\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}\left(x_{i}-y_{i}\right)\left(x_{j}-y_{j}\right)\right]^{(2-n)/2},\,\,n>2,}\\{\log \left[\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}\left(x_{i}-y_{i}\right)\left(x_{j}-y_{j}\right)\right],\,\,n=2,}\end{array}}\right.}$

где ${\displaystyle A_{ij}}$ – алгебраическое дополнение к ${\displaystyle a_{ij}}$ в матрице ${\displaystyle a}$.

В теории эллиптических уравнений фундаментальные решения широко используются при изучении краевых задач с помощью интегральных уравнений.