Пространство непрерывных функций

Простра́нство непреры́вных фу́нкций, нормированное пространство ${\displaystyle C(X)}$ ограниченных непрерывных на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ функций ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ с нормой ${\displaystyle }$
${\displaystyle midf}$
${\displaystyle mid=\sup \limits _{x\in X}\mid f(x)\mid }$. Сходимость последовательности ${\displaystyle f_{n}}$ в пространстве ${\displaystyle C(X)}$ означает равномерную сходимость. Пространство ${\displaystyle C(X)}$ является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Если ${\displaystyle X}$ – бикомпакт, то всякая непрерывная на нём функция ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ ограничена и, следовательно, пространство ${\displaystyle C(X)}$ совпадает с пространством всех непрерывных на ${\displaystyle X}$ функций.

В случае, когда ${\displaystyle X=[a,b]}$ – отрезок действительных чисел, пространство ${\displaystyle C(X)}$ обозначается ${\displaystyle C[a,b]}$. Множество всех целых неотрицательных степеней ${\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots }$ образует согласно теореме Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами полную систему в пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ (это означает, что множество линейных комбинаций указанных степеней, т. е. многочлены, образует в ${\displaystyle C[a,b]}$ всюду плотное множество), следовательно, пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ сепарабельно. В пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ существует базис, например система функций Фабера – Шаудера образует базис в пространстве ${\displaystyle C[0,1]}$. Критерий компактности в пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ даётся соответствующей теоремой Арцела: для того чтобы некоторое семейство функций ${\displaystyle f\in C[a,b]}$ было компактным относительно пространства ${\displaystyle C[a,b]}$, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Этот критерий обобщается на случай метрического пространства ${\displaystyle C(X,Y)}$ непрерывных отображений метрического компакта ${\displaystyle X}$ в метрический компакт ${\displaystyle Y}$. Для компактности замкнутого подмножества ${\displaystyle A}$ пространства ${\displaystyle C(X,Y)}$ необходимо и достаточно, чтобы входящие в ${\displaystyle A}$ отображения были равностепенно непрерывны. Расстояние между отображениями ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ из пространства ${\displaystyle C(X,Y)}$ задаётся формулой

${\displaystyle \rho (f,g)=\sup _{x\in X}\rho (f(x),g(x))}$.