Закон арксинуса

Зако́н аркси́нуса, предельная теорема, описывающая флуктуации случайного блуждания на прямой, приводящая к распределению арксинуса или обобщённому распределению арксинуса. В 1939 г. П. Леви для процесса броуновского движения ${\displaystyle \left\{\xi _{t},\ t\leqslant 0,\ \xi _{0}=0\right\}}$ отметил следующий факт. Пусть ${\displaystyle \tau _{t}}$ – мера Лебега множества ${\displaystyle \left\{u:\xi _{u}>0,\ 0\leqslant u\leqslant t\right\}}$, другими словами, время, проведённое броуновской частицей на положительной полуоси за промежуток времени ${\displaystyle [0,t]}$. Тогда отношение ${\displaystyle \tau _{t}/t}$ имеет распределение арксинуса:

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\tau _{t}/t<x{\bigr \}}=F_{1/2}(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\sqrt {x}},\quad }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1,\quad t>0}$.

Позднее было обнаружено (см. Спицер. 1962), что для случайного блуждания с дискретным временем имеет место следующий закон арксинуса: пусть ${\displaystyle S_{0}=0,S_{1},\ldots S_{n},\ldots }$ – последовательные положения в случайном блуждании,

${\displaystyle S_{n}=\sum _{u=1}^{n}\xi _{n}}$,

${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots \xi _{n},\ldots }$ независимы и одинаково распределены, ${\displaystyle T_{n}}$ равно числу индексов ${\displaystyle k}$ среди ${\displaystyle 0,1,\ldots n}$, для которых ${\displaystyle S_{k}>0}$,

${\displaystyle K_{n}=\min {\bigl \{}k:S_{k}=\max _{0\leqslant m\leqslant n}S_{m}{\bigr \}}}$,

тогда соотношения

${\displaystyle }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\mathsf {P}}{\bigl \{}T_{n}/n<x{\bigr \}}=\lim _{n\to \infty }{\mathsf {P}}{\bigl \{}K_{n}/n<x{\bigr \}}=F_{\alpha }(x),}$
${\displaystyle }$
${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\mathsf {P}}\{S_{1}<0\}+\ldots +{\mathsf {P}}\{S_{n}<0\}}{n}}=\alpha }$
${\displaystyle }$
${\displaystyle }$

выполняются или не выполняются одновременно, где ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$ при ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ – обобщённое распределение арксинуса,

${\displaystyle F_{1}(x)={\mathsf {E}}(x){\text{ и }}F_{0}(x)={\mathsf {E}}(x-1)}$,

при этом ${\displaystyle {\mathsf {E}}(x)=0}$ при ${\displaystyle x\leqslant 0}$ и ${\displaystyle {\mathsf {E}}(x)=1}$ при ${\displaystyle x>0}$.

Закон арксинуса в теории восстановления утверждает, что при ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ имеют место равенства:

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\xi _{1}\geqslant 0{\bigr \}}=1}$

и

${\displaystyle y_{t}=t-S_{\eta _{t}}}$,

где ${\displaystyle \eta _{t}}$ определяется соотношением ${\displaystyle S_{\eta _{t}}<t\leqslant S_{\eta _{t}+1},}$

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\mathsf {P}}{\bigl \{}y_{t}/t<x{\bigr \}}=F_{\alpha }(x)}$

тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\mathsf {P}}{\bigl \{}\xi _{1}>x{\bigr \}}=x^{-\alpha }L(x)}$

при ${\displaystyle x>0}$, где ${\displaystyle L(x)}$ – функция, определённая при ${\displaystyle x>0}$ и обладающая свойством

{{center|${\displaystyle \lim _{x\to \infty }L(xy)/L(x)=1{\text{ при }}0<y<\infty .}$