Закон повторного логарифма

Зако́н повто́рного логари́фма, одна из предельных теорем теории вероятностей, близкая по смыслу к закону больших чисел. Закон повторного логарифма указывает (при определённых условиях) точный порядок роста сумм независимых случайных величин при увеличении числа слагаемых. Пусть, например, случайные величины ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},\ldots }$ независимы и каждая из них принимает два значения ${\displaystyle +1}$ или ${\displaystyle -1}$ с вероятностями, равными ${\displaystyle 1/2}$, и пусть сумма ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}$. Тогда для любого числа ${\displaystyle \delta >0}$ с вероятностью, равной ${\displaystyle 1}$, при всех ${\displaystyle n}$, больших некоторого (зависящего от случая) номера ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S_{n}<(1+\delta ){\sqrt {2n\ln \ln n}}}$;

для бесконечной последовательности номеров ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S_{n}>(1-\delta ){\sqrt {2n\ln \ln n}}}$.

Название «закон повторного логарифма» объясняется наличием в приведённых выражениях множителя ${\displaystyle \ln \ln n}$. Первый результат, относящийся к закону повторного логарифма, был установлен А. Я. Хинчиным (1924). Дальнейшие продвижения в изучении условий применимости закона повторного логарифма связаны с работами А. Н. Колмогорова (1929) и У. Феллера (1943).