Гауссовский процесс

Га́уссовский проце́сс, действительный случайный процесс ${\displaystyle X=X(t)}$, ${\displaystyle t\in T}$, любые конечномерные распределения которого являются гауссовскими, т. е. характеристические функции совместных распределений вероятностей случайных величин ${\displaystyle X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})}$ при любых ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ имеют вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{t_{1},\ldots ,t_{n}}(u_{1},\ldots ,u_{n})&=\exp {\bigl \{}i&\sum _{k=1}^{n}A(t_{k})u_{k}-{\frac {1}{2}}\sum _{k,j=1}^{n}B(t_{k},t_{j})u_{k}u_{j}{\bigr \}},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle A(t)={\mathsf {E}}X(t)}$ – математическое ожидание и

${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}[X(t)-A(t)][X(s)-A(s)]}$

корреляционная функция. Распределение вероятностей гауссовского процесса ${\displaystyle X=X(t)}$ полностью задаётся его математическим ожиданием ${\displaystyle A(t)}$ и корреляционной функцией ${\displaystyle B(t,s)}$, ${\displaystyle s,t\in T}$. Для любой функции ${\displaystyle A(t)}$ и любой положительно определённой функции ${\displaystyle B(t,s)}$ существует гауссовский процесс ${\displaystyle X(t)}$, у которого среднее значение и корреляционная функция суть именно ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle B(t,s)}$. Многомерный случайный процесс с векторными значениями

${\displaystyle X(t)=\{X_{1}(t),\ldots ,X_{m}(t)\}}$

называется гауссовским, если гауссовскими являются совместные распределения вероятностей любых величин

${\displaystyle X_{i_{1}}(t_{1}),\ldots ,X_{i_{n}}(t_{n})}$.

Комплексным гауссовским процессом ${\displaystyle X=X(t)}$, ${\displaystyle t\in T}$, называется случайный процесс вида:

${\displaystyle X(t)=X_{1}(t)+iX_{2}(t)}$,

где действительные ${\displaystyle X_{1}(t)}$, ${\displaystyle X_{2}(t)}$ в совокупности образуют двумерный гауссовский процесс. Иногда, говоря о комплексном гауссовском процессе ${\displaystyle X(t)=X_{1}(t)+iX_{2}(t)}$, считают, что выполняется одно дополнительное условие:

${\displaystyle {\mathsf {E}}X(s)X(t)=A(s)A(t)}$,

где

${\displaystyle A(t)={\mathsf {E}}X(t)}$.

Это условие вводится для того, чтобы сохранить то свойство обычных гауссовских случайных величин, согласно которому некоррелированность равносильна независимости; его можно переписать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {E}}[X_{1}(t)-A_{1}(t)][X_{1}(s)-A_{1}(s)]=\\{\mathsf {E}}[X_{2}(t)-A_{2}(t)][X_{2}(s)-A_{2}(s)]={\frac {1}{2}}\mathop {\mathrm {Re} } B(t,s),\\{\mathsf {E}}[X_{1}(t)-A_{1}(t)][X_{2}(s)-A_{2}(s)]=-{\frac {1}{2}}\mathop {\mathrm {Im} } B(t,s),\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle B(t,s)={\mathsf {E}}[X(t)-A(t)]{\overline {[X(s)-A(s)]}}}$

– корреляционная функция процесса ${\displaystyle X(t)}$ и

${\displaystyle A_{1}(t)={\mathsf {E}}X_{1}(t),\quad A_{2}(t)={\mathsf {E}}X_{2}(t)}$.

Действительный обобщённый случайный процесс ${\displaystyle X=\langle u,X\rangle }$, ${\displaystyle u\in U}$, на линейном пространстве ${\displaystyle U}$ называется обобщённым гауссовским процессом, если его характеристический функционал ${\displaystyle \varphi _{X}(u)}$ имеет вид:

${\displaystyle \varphi _{X}(u)=e^{iA(u)-{\dfrac {1}{2}}B(u,u)},\quad u\in U}$,

где ${\displaystyle A(u)={\mathsf {E}}\langle u,X\rangle }$ – математическое ожидание обобщённого процесса ${\displaystyle X=\langle u,X\rangle }$,

${\displaystyle B(u,v)={\mathsf {E}}[\langle u,X\rangle -A(u)][\langle v,X\rangle -A(v)]}$

– его корреляционный функционал.

Пусть ${\displaystyle U}$ – гильбертово пространство со скалярным произведением ${\displaystyle (u,v),u,v\in U}$. Случайная величина ${\displaystyle X}$ со значениями в пространстве ${\displaystyle U}$ называется гауссовской, если случайный процесс вида ${\displaystyle X=\langle u,X\rangle }$, ${\displaystyle u\in U}$, – обобщённый гауссовский процесс. Математическое ожидание ${\displaystyle A(u)}$ является линейным непрерывным функционалом, а корреляционная функция ${\displaystyle B(u,v)}$ – билинейным непрерывным функционалом на гильбертовом пространстве ${\displaystyle U}$, причём

${\displaystyle B(u,v)=(Bu,v),\quad u,v\in U}$,

где положительный оператор ${\displaystyle B}$ – корреляционный оператор случайной величины ${\displaystyle X\in U}$, является ядерным. Для любых таких ${\displaystyle A(u)}$ и ${\displaystyle B(u,v)}$ существует гауссовская величина ${\displaystyle X\in U}$ такая, что обобщённый процесс ${\displaystyle X=\langle u,X\rangle }$, ${\displaystyle u\in U}$, имеет средним значением и корреляционной функцией именно ${\displaystyle A(u)}$ и ${\displaystyle B(u,v)}$.

Пример. Пусть ${\displaystyle X=X(t)}$ – гауссовский процесс на отрезке ${\displaystyle T=[a,b]}$ и пусть процесс ${\displaystyle X(t)}$ измерим, причём

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\mathsf {E}}[X(t)]^{2}\,dt<\infty }$.

Тогда почти все траектории ${\displaystyle X(t)}$, ${\displaystyle t\in T}$, будут принадлежать пространству интегрируемых в квадрате функций ${\displaystyle u=u(t)}$ на отрезке ${\displaystyle T}$ со скалярным произведением

${\displaystyle (u,v)=\int \limits _{a}^{b}u(t)v(t)\,dt}$.

Формула

${\displaystyle \langle u,X\rangle =\int \limits _{a}^{b}u(t)X(t)\,dt,\quad u\in U}$,

задаёт обобщённый гауссовский процесс на этом пространстве ${\displaystyle U}$. При этом математическое ожидание и корреляционный функционал обобщённого процесса ${\displaystyle X=\langle u,X\rangle }$ выражаются формулами:

${\displaystyle {\begin{aligned}A(u)=\int \limits _{a}^{b}u(t)A(t)\,dt,\\B(u,v)=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}B(t,s)u(t)v(s)\,dt\,ds,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle A(t)}$ и ${\displaystyle B(t,s)}$ соответствующие математическое ожидание и корреляционная функция исходного процесса ${\displaystyle X=X(t)}$ на отрезке ${\displaystyle T=[a,b]}$.

Почти все основные свойства гауссовского процесса ${\displaystyle X=X(t)}$ (параметр ${\displaystyle t}$ пробегает произвольное множество ${\displaystyle T}$) могут быть выражены в геометрических терминах при рассмотрении этого процесса как кривой в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ всех случайных величин ${\displaystyle Y,{\mathsf {E}}Y^{2}<\infty }$, со скалярным произведением ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2})={\mathsf {E}}Y_{1}Y_{2}}$, для которой

${\displaystyle (X(t),1)=A(t)}$

и

${\displaystyle (X(t)-A(t),X(s)-A(s))=B(t,s)}$.

Стационарные в узком смысле гауссовские процессы могут быть реализованы посредством некоторых динамических систем (сдвиг в пространстве траекторий, см. ^[1]). Полученные динамические системы (их иногда называют нормальными, ср. с нормальным распределением вероятностей) представляют интерес как примеры динамических систем с непрерывным спектром, свойства которых благодаря упомянутому разложению в ${\displaystyle H}$ могут быть изучены с большой полнотой. Так были построены первые конкретные примеры динамических систем с «неклассическими» спектральными свойствами.