Алгебраическая K-теория

Алгебраи́ческая K-тео́рия, раздел алгебры, который в основном занимается изучением ${\displaystyle K}$-функторов (${\displaystyle K_{0}}$, ${\displaystyle K_{1}}$ и др.); по существу это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощённо, это обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу ${\displaystyle R}$ эти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротендика ${\displaystyle K_{0}(R)}$ и Уайтхеда ${\displaystyle K_{1}(R)}$ в некотором смысле являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопическая теория векторных расслоений и топологическая ${\displaystyle K}$-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В алгебраической ${\displaystyle K}$-теории широко используются теория колец, гомологическая алгебра, теория категорий и теория линейных групп.

Алгебраическая ${\displaystyle K}$-теория имеет два различных исторических источника, лежащих в геометрии. Первый связан с некоторыми топологическими препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия кручения Уайтхеда, связанного с гомотопической эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся некоторой факторгруппой группы ${\displaystyle K_{1}(R)}$, где ${\displaystyle R=\mathbb {Z} \Pi }$ – целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы ${\displaystyle \Pi }$. Следующий шаг связан с рассмотрением топологического пространства ${\displaystyle X}$, доминируемого конечным комплексом, и его обобщённой эйлеровой характеристики ${\displaystyle \operatorname {ch} i(A)}$, лежащей в группе ${\displaystyle K_{0}(\mathbb {Z} \pi )}$. Вычисление групп Уайтхеда и ${\displaystyle L}$-групп, являющееся в принципе алгебраической задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей алгебраической ${\displaystyle K}$-теории. ${\displaystyle K_{2}}$ и другие высшие функторы имеют топологические приложения такого же типа (например, препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотопию лежит в некоторой факторгруппе группы ${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Z} \pi )}$). Алгебраическое изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. ^[1]).

Второй источник алгебраической ${\displaystyle K}$-теории – алгебраическое доказательство А. Гротендиком в 1957 г. теоремы Римана – Роха (см. ^[2]) и её обобщений. В этом доказательстве был введён ${\displaystyle K}$-функтор ${\displaystyle K(X)}$ как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраическом многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, кольца Витта классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем ${\displaystyle K}$-функтор был перенесён в топологию, где нашёл многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач.

Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологий), теории представлений групп. Развитию алгебраической ${\displaystyle K}$-теории для колец [начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порождёнными модулями и векторными расслоениями] препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии.

В 50–60-х гг. 20 в. подверглись систематическому изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна из важнейших идей, лежащая в основе алгебраической ${\displaystyle K}$-теории, – идея «стабилизации», состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчётливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (например, линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи алгебраической ${\displaystyle K}$-теории с законами взаимности в теории алгебраических чисел и алгебраических функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраический аналог теоремы периодичности Ботта – теория полиномиальных расширений.

Для кольца ${\displaystyle R}$ с единицей группа Гротендика ${\displaystyle K_{0}(R)}$ определяется как абелева группа, образующими которой служат классы изоморфных конечно порождённых проективных ${\displaystyle R}$-модулей, с определяющими соотношениями

${\displaystyle \left[P_{1}\right]+\left[P_{2}\right]=\left[P_{1}\oplus P_{2}\right]}$,

где ${\displaystyle [P]}$ – класс модулей, изоморфных модулю ${\displaystyle P}$. Пусть ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ – полная линейная группа над ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle {\begin{aligned}A\to {\begin{Vmatrix}A&0\\0&1\end{Vmatrix}}\end{aligned}}}$ – вложение ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ в ${\displaystyle \operatorname {GL} (n+1,R)}$, ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$ – прямой предел групп ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$, ${\displaystyle E(R)}$ – подгруппа в ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$, порождённая элементарными матрицами ${\displaystyle e_{ij}^{\lambda }}$, т. е. матрицами с элементом ${\displaystyle \lambda \in R}$ на ${\displaystyle i,j}$-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда ${\displaystyle E(R)}$ совпадает с коммутантом группы ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)}$. Факторгруппа ${\displaystyle \operatorname {GL} (R)/E(R)}$ обозначается через ${\displaystyle K_{1}(R)}$ и называется группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга ${\displaystyle \operatorname {St} (n,R)}$ при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ определяется в образующих ${\displaystyle x_{ij}^{\lambda }}$, ${\displaystyle \lambda \in R}$, ${\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}$, ${\displaystyle i\neq j}$, соотношениями

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{ij}^{\lambda }x_{ij}^{\mu }=x_{ij}^{\lambda +\mu };\\\left[x_{ij}^{\lambda },x_{ji}^{\mu }\right]=x_{il}^{\lambda \mu }\,\,{\text{ при }}\,\,i\neq l;\\\left[x_{ij}^{\lambda },x_{kl}^{\mu }\right]=1\,\,{\text{ при }}\,\,j\neq k,\,\,i\neq l.\end{aligned}}}$

Переходя к прямому пределу, получают группу ${\displaystyle \operatorname {St} (R)}$ и естественный гомоморфизм

${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (R)\rightarrow E(R)}$, при котором

${\displaystyle \varphi \left(x_{ij}^{\lambda }\right)=e_{ij}^{\lambda }}$.

Ядро ${\displaystyle \operatorname {ker} \varphi }$ обозначается через ${\displaystyle K_{2}(R)}$ (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы ${\displaystyle \operatorname {St} (R)}$. Таким образом, ${\displaystyle K_{0},K_{1},K_{2}}$ – функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порождённому проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий некоторым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая «универсальная» характеризация позволяет определить аналог функторов ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ на «достаточно хороших» категориях. В частности, для категории нётеровых ${\displaystyle R}$-модулей получаются весьма близкие к ${\displaystyle K_{i}(R)}$ функторы ${\displaystyle G_{i}(R)}$.

Примеры групп ${\displaystyle K_{i}(R)}$. Если ${\displaystyle R}$ – тело, ${\displaystyle R^{*}}$ – его мультипликативная группа, то ${\displaystyle K_{0}(R)=\mathbb {Z} }$ – группа целых чисел, ${\displaystyle K_{1}(R)=R^{*}/\left[R^{*},R^{*}\right]}$; ${\displaystyle K_{2}(\mathbb {Z} )}$ – циклическая группа 2-го порядка. Если ${\displaystyle R}$ – конечное поле, то ${\displaystyle K_{2}(R)=0}$.

Важным результатом в алгебраической ${\displaystyle K}$-теории является точная последовательность Майера – Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}F_{1}(A)&{\overset {F_{1}(\alpha )}{\longrightarrow }}&F_{1}(B)\\\varphi _{A}{\big \downarrow }&&{\big \downarrow }\varphi _{B}\\F_{2}(A)&{\underset {F_{2}(\alpha )}{\longrightarrow }}&F_{2}(B)\end{array}}}$

– декартов квадрат гомоморфизмов колец, в котором ${\displaystyle f_{1}}$ – эпиморфизм, то точна последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}&K_{1}(R)\longrightarrow K_{1}\left(R_{1}\right)\oplus K_{1}\left(R_{2}\right)\longrightarrow K_{1}\left(R^{\prime }\right)\longrightarrow \\&\longrightarrow K_{0}(R)\longrightarrow K_{0}\left(R_{1}\right)+K_{0}\left(R_{2}\right)\longrightarrow K_{0}\left(R^{\prime }\right);\end{aligned}}}$

причём, если ${\displaystyle f_{2}}$ также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами

${\displaystyle K_{2}(R)\longrightarrow K_{2}\left(R_{1}\right)\oplus K_{2}\left(R_{2}\right)\longrightarrow K_{2}\left(R^{\prime }\right)\longrightarrow K_{1}(R)\longrightarrow \ldots }$

Если ${\displaystyle I}$ – двусторонний идеал кольца ${\displaystyle R}$, то последовательность Майера – Вьеториса позволяет (см. ^[3]) определить относительные функторы ${\displaystyle K_{i}(R,I)}$, дающие точную последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{2}(R,I)\longrightarrow K_{2}(R)\longrightarrow K_{2}(R/I)\longrightarrow K_{1}(R,I)\longrightarrow K_{1}(R)\longrightarrow \\\longrightarrow K_{1}(R/I)\longrightarrow K_{0}(R,I)\longrightarrow K_{0}(R)\longrightarrow K_{0}(R/I).\end{aligned}}}$

Достаточно полно исследован вопрос о поведении ${\displaystyle K}$-функторов при переходе от кольца ${\displaystyle R}$ к его локализации по центральной мультипликативно замкнутой системе. B частности, при соответствующих условиях на кольцо ${\displaystyle R}$ для функтора ${\displaystyle G_{0}(R)}$ получена точная последовательность

${\displaystyle U_{s\in S}G_{0}(R/(s))\longrightarrow G_{0}(R)\longrightarrow G_{0}(S^{-1}R)\longrightarrow 0}$.

Если кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно, то группа ${\displaystyle K_{0}(R)}$ превращается в кольцо с единицей путём введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца ${\displaystyle K_{0}(R)}$ на кольцо ${\displaystyle H(R)}$ непрерывных целочисленных функций (кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца ${\displaystyle R}$. Ядро этого гомоморфизма обозначается ${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(R)}$. Известно, что ${\displaystyle K_{0}(R)}$ является нильрадикалом кольца ${\displaystyle K_{0}(R)}$, причём если ${\displaystyle R}$ – нётерово и размерность его максимального спектра равна ${\displaystyle \alpha }$, то ${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(R)^{\alpha +1}=0}$. Если же эта размерность не превосходит 1, то группа ${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}(R)}$ изоморфна группе Пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} (K)}$.

Для колец арифметического типа существуют теоремы конечности для функторов ${\displaystyle K_{i}(R)}$ и ${\displaystyle G_{i}(R)}$. Именно, если ${\displaystyle {A}}$ является кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, а ${\displaystyle R}$ является ${\displaystyle R}$-порядком и одновременно ${\displaystyle R}$-решёткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца ${\displaystyle A}$, то группы ${\displaystyle K_{i}(R)}$ и ${\displaystyle G_{i}(R)}$ конечно порождены ${\displaystyle (i=0,1)}$.

Развитию алгебраической ${\displaystyle K}$-теории способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметической группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы ${\displaystyle K_{1}(R,I)}$ для идеалов ${\displaystyle I}$ в ${\displaystyle R}$.

Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если ${\displaystyle R}$ – коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр которого имеет размерность ${\displaystyle d}$, а ${\displaystyle A}$ – конечномерная ${\displaystyle R}$-алгебра, то любой конечно порождённый проективный ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle P}$ такой, что

${\displaystyle P_{\mathfrak {m}}\cong A_{\mathfrak {m}}^{d}\oplus Q}$

для всех максимальных идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ кольца ${\displaystyle R}$, изоморфен ${\displaystyle A\oplus N}$ (здесь ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$ – локализация модуля ${\displaystyle M}$ по ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца ${\displaystyle R,A}$ и модуль ${\displaystyle P}$ – такие же, как выше, ${\displaystyle Q}$ – конечно порождённый проективный ${\displaystyle A}$-модуль и ${\displaystyle M,N}$ – произвольные ${\displaystyle A}$-модули. Тогда из

${\displaystyle Q\oplus {P}\oplus M\cong Q\oplus N}$

следует

${\displaystyle P\oplus M\cong N}$.

C вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца ${\displaystyle R}$. Например, если ${\displaystyle R}$ – коммутативное кольцо стабильного ранга меньше ${\displaystyle d}$, то

${\displaystyle K_{1}(R)\cong \operatorname {CL} (d+r,R)/E(d+1,R)}$.

В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы ${\displaystyle K_{i}}$ от групповых колец. Один из результатов этого направления: если ${\displaystyle G}$ – конечная группа порядка ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle C}$ – семейство циклических подгрупп группы ${\displaystyle G}$, то показатель подгруппы

${\displaystyle \sum _{c\in C}\operatorname {Im} \left(K_{i}(RC)\longrightarrow K_{i}(RG)\right)}$

в группе ${\displaystyle K_{i}(RG)}$ при ${\displaystyle i=0,1,2}$ делит ${\displaystyle n}$.

О полиномиальных расширениях колец известно, что если ${\displaystyle R}$ – регулярное кольцо, то

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{0}(R[t])\cong K_{0}\left(R\left[t,t^{-1}\right]\right)\cong K_{0}(R),\\K_{1}(R[t])\cong K_{1}(R).\end{aligned}}}$

Кроме того, для произвольного кольца ${\displaystyle R}$ точна последовательность

${\displaystyle {\begin{aligned}0\longrightarrow &K_{1}(R)\longrightarrow K_{1}(R[t])\oplus K_{1}(R[t^{-1}])\longrightarrow \\&\longrightarrow K_{1}\left(R\left[t,t^{-1}\right]\right)\longrightarrow K_{0}(R)\longrightarrow 0.\end{aligned}}}$

Одним из результатов о вычислении функтора ${\displaystyle K_{2}(R)}$ является теорема Мацумото: если ${\displaystyle R}$ – поле, то группа ${\displaystyle K_{2}(R)}$ задаётся образующими ${\displaystyle l(a)}$ (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам a поля ${\displaystyle R}$) и соотношениями ${\displaystyle l(a)l(1-a)=1}$ при ${\displaystyle a\neq 1}$.

В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов ${\displaystyle K_{i}}$ при ${\displaystyle i\geqslant 2}$. Было доказано (^[4]) совпадение этих теорий, дающих классические функторы ${\displaystyle K_{n}}$ при ${\displaystyle n\leqslant 2}$. В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших ${\displaystyle K}$-групп. Начала развиваться унитарная ${\displaystyle K}$-теория (см. ^[5]), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на которых определены квадратичные и билинейные формы.