Когерентный пучок

Когере́нтный пучо́к на окольцованном пространстве ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$, пучок модулей ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ над пучком колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, обладающий следующими свойствами: 1) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – пучок конечного типа, т. е. локально порождается над ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ конечным числом сечений; 2) ядро любого гомоморфизма пучков модулей ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}|_{U}\rightarrow {\mathcal {F}}|_{U}}$ над открытым множеством ${\displaystyle U\subset X}$ является пучком конечного типа. Если в точной последовательности ${\displaystyle 0\rightarrow {\mathcal {F}}_{1}\rightarrow {\mathcal {F}}_{2}\rightarrow {\mathcal {F}}_{3}\rightarrow 0}$ пучков ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модулей два из трёх пучков ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ когерентны, то и третий пучок когерентен. Если ${\displaystyle \varphi :{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {S}}}$ – гомоморфизм когерентных пучков ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модулей, то ${\displaystyle \operatorname {Ker} \varphi }$, ${\displaystyle \operatorname {Coker} \varphi }$, ${\displaystyle \operatorname {Im} \varphi }$ – также когерентные пучки. Если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ когерентны, то ${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{\mathcal {O}}{\mathcal {S}}}$ и ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {O}}({\mathcal {F}},{\mathcal {S}})}$ также когерентны (Серр. 1958^[1]).

Структурный пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ называется когерентным пучком колец, если ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ когерентен как пучок модулей над самим собой, что сводится к выполнению условия 2). Если ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ – когерентный пучок колец, то пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модулей ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ когерентен тогда и только тогда, когда каждая точка пространства ${\displaystyle X}$ обладает окрестностью ${\displaystyle U}$, над которой существует точная последовательность пучков ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$-модулей:

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{p}|_{U}\rightarrow {\mathcal {O}}^{q}|_{U}\rightarrow {\mathcal {F}}|_{U}\rightarrow 0}$

(Ж.-П. Серр. 1958). Далее, при этом условии для любых когерентных ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ пучки ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p}({\mathcal {F}},{\mathcal {S}})}$ когерентны для всех ${\displaystyle p}$ (см. Вӑniсӑ. 1974^[2]).

Основными классами окольцованных пространств с когерентным структурным пучком ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ являются: аналитические пространства над алгебраически замкнутым полем (Abhyankar. 1964^[3]), нётеровы схемы и, в частности, алгебраические многообразия (Серр. 1958). Классический частный случай представляет собой пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ростков голоморфных функций в области пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$; утверждение о его когерентности известно как теорема Ока (Ганнинг. 1969^[4]; Фукс. 1963^[5]). Структурный пучок вещественного аналитического пространства, вообще говоря, не когерентен.

См. также Когерентный аналитический пучок, Когерентный алгебраический пучок.