Линейная алгебра

Лине́йная а́лгебра, раздел алгебры, изучающий векторные (линейные) пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах.

Исторически первым разделом линейной алгебры была теория систем линейных уравнений. В связи с изучением этих систем появились понятия матрицы и определителя. В 1750 г. получены формулы Крамера для решения систем линейных уравнений, в которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля. В 1849 г. предложен метод Гаусса, который используется с различными изменениями для практического нахождения решений систем линейных уравнений. Понятие ранга матрицы, предложенное Ф. Г. Фробениусом в 1877 г., позволило явно выразить условия совместности и определённости системы линейных уравнений в терминах коэффициентов этой системы. Тем самым в конце 19 в. было завершено построение общей теории систем линейных уравнений.

Если в 18 и 19 вв. основное содержание линейной алгебры составляли системы линейных уравнений и теория определителей, то в 20 в. центральное положение в линейной алгебре заняли понятие векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ и связанные с ним понятия линейного отображения, линейной, билинейной и полилинейной функций на векторном пространстве. Одним из важнейших понятий теории векторных пространств является понятие линейного отображения (линейного оператора), т. е. гомоморфизма векторных пространств над одним и тем же полем. Частным случаем линейного отображения является линейное преобразование, или линейное отображение пространства в себя. Если рассматривать линейные отображения ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства в ${\displaystyle s}$-мерное, то, фиксируя в этих пространствах базисы, можно сопоставить каждому линейному отображению матрицу с ${\displaystyle s}$ строками и ${\displaystyle n}$ столбцами (матрицу линейного отображения; для линейных преобразований эта матрица является квадратной). Это позволяет формулировать теоремы о линейных отображениях на матричном языке и при их доказательстве использовать язык теории матриц. Одной из важнейших задач в теории линейных преобразований является задача о выборе базиса, в котором матрица преобразования принимает в каком-то смысле простейший вид. В случае поля комплексных чисел таким видом является, например, жорданова нормальная форма матрицы.

Ещё одним частным случаем линейного отображения является линейная функция (линейный функционал) – линейное отображение ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle K}$ (поле ${\displaystyle K}$ рассматривается как одномерное пространство). Все линейные функции на ${\displaystyle V}$ образуют векторное пространство ${\displaystyle V^{*}}$, называемое пространством, сопряжённым с пространством ${\displaystyle V}$. Векторы пространства ${\displaystyle V}$ можно, в свою очередь, рассматривать как линейные функции на сопряжённом пространстве ${\displaystyle V^{*}}$, полагая ${\displaystyle x(f)=f(x)}$ для всех ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle f\in V^{*}}$. Если ${\displaystyle V}$ конечномерно, то так устанавливается естественный изоморфизм между ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle (V^{*})^{*}}$. В конечномерном случае пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle V^{*}}$ имеют одинаковые размерности и также изоморфны.

Обобщением понятия линейной функции является понятие полилинейной функции, т. е. функции со значениями в ${\displaystyle K}$, зависящей от нескольких аргументов (из которых одни принадлежат векторному пространству ${\displaystyle V}$, а другие – сопряжённому пространству ${\displaystyle V^{*}}$) и линейной по каждому аргументу. Эти функции называются также тензорами.

Теория векторных пространств имеет тесные связи с теорией групп (всякое векторное пространство – группа по сложению). Все автоморфизмы ${\displaystyle n}$-мерного векторного пространства ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle K}$ образуют относительно умножения группу преобразований, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц порядка ${\displaystyle n}$ с элементами из ${\displaystyle K}$. Гомоморфное отображение некоторой группы ${\displaystyle G}$ в эту группу автоморфизмов называется линейным представлением группы ${\displaystyle G}$ в пространстве ${\displaystyle V}$. Изучение свойств представлений составляет предмет теории линейных представлений групп. Различные вопросы аналитической геометрии с помощью метода координат сводятся к задачам линейной алгебры. Естественным обобщением понятия векторного пространства над полем ${\displaystyle K}$ является понятие модуля. Многие основные теоремы линейной алгебры не справедливы для модулей, однако теорию модулей также иногда включают в линейную алгебру.