Декартов квадрат

Дека́ртов квадра́т (коуниверсальный квадрат в категории), диаграмма

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}A\times _{S}B&{\overset {p_{A}}{\longrightarrow }}&A\\{\scriptstyle p_{B}}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \alpha }\\B&{\underset {\beta }{\longrightarrow }}&S\end{array}}}$

Здесь ${\displaystyle A{\underset {S}{\overline {\quad }}}B}$ – расслоенное произведение объектов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, ассоциированное со схемой

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&A\\&&\downarrow {\scriptstyle \alpha }\\B&{\underset {\beta }{\longrightarrow }}&S\end{array}}}$

а ${\displaystyle p_{A}}$ и ${\displaystyle p_{B}}$ – канонические проекции. Диаграмма

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}P&{\overset {S}{\longrightarrow }}&A\\{\scriptstyle \gamma }\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \alpha }\\B&{\underset {\beta }{\longrightarrow }}&S\end{array}}}$

является декартовым квадратом тогда и только тогда, когда она коммутативна и для всякой пары морфизмов ${\displaystyle \mu :V\to A}$, ${\displaystyle \nu :V\to B}$ такой, что ${\displaystyle \alpha \mu =\beta \nu }$, существует единственный морфизм ${\displaystyle \lambda :V\to P}$, удовлетворяющий условиям ${\displaystyle \mu =\delta \lambda }$, ${\displaystyle \nu =\gamma \lambda }$.