Конгруэнц-подгруппа

Конгруэ́нц-подгру́ппа, подгруппа ${\displaystyle H}$ полной линейной группы ${\displaystyle GL(n,R)}$ над кольцом ${\displaystyle R}$, обладающая следующим свойством: существует такой ненулевой двусторонний идеал кольца ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, что ${\displaystyle H\supseteq GL(n,R,{\mathfrak {P}})}$, где

${\displaystyle GL(n,R,{\mathfrak {P}})={\rm {Ker}}\,{\big (}GL(n,R)\to GL(n,R/{\mathfrak {P}}){\big )},}$

т. е. ${\displaystyle H}$ содержит все матрицы из ${\displaystyle GL(n,R)}$, сравнимые с единичной матрицей по модулю ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Более общо, подгруппа ${\displaystyle H}$ линейной группы ${\displaystyle \Gamma }$ степени ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle R}$ называется конгруэнц-подгруппой, если для некоторого ненулевого двустороннего идеала ${\displaystyle {\mathfrak {P}}\subseteq R}$

${\displaystyle H\supseteq \Gamma \cap GL(n,R,{\mathfrak {P}})}$.

В случае

${\displaystyle H=\Gamma \cap GL(n,R,{\mathfrak {P}})}$

подгруппа ${\displaystyle H}$ называется главной конгруэнц-подгруппой, соответствующей идеалу ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$. Понятие конгруэнц-подгруппы первоначально возникло для ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$. Оно особенно эффективно и важно с точки зрения применений для дедекиндова кольца ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \Gamma =G_{R}}$, где ${\displaystyle G}$ – алгебраическая группа, определённая над полем отношений кольца ${\displaystyle R}$.