Билинейная форма

Билине́йная фо́рма на произведении модулей ${\displaystyle V\times W}$ – билинейное отображение ${\displaystyle f\colon V\times W\rightarrow A}$, где ${\displaystyle V}$ – левый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle W}$ – правый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle A}$ – кольцо с единицей, рассматриваемое также как ${\displaystyle (A,A)}$-бимодуль. Если ${\displaystyle V=W}$, то говорят, что ${\displaystyle f}$ есть билинейная форма на модуле ${\displaystyle V}$, а также, что ${\displaystyle V}$ наделён метрической структурой с помощью ${\displaystyle f}$. Определения, касающиеся билинейных отображений, имеют смысл, в частности, для билинейных форм. Так, говорят о матрице билинейной формы относительно выбранных базисов в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$, об ортогональности элементов и подмодулей относительно билинейной формы, об ортогональных прямых суммах, невырожденности и т. д. Например, если ${\displaystyle A}$ – поле и ${\displaystyle V=W}$– конечномерное векторное пространство над ${\displaystyle A}$ с базисом ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$, то для векторов ${\displaystyle v=v_{1}e_{1}+\ldots +v_{n}e_{n}}$ и ${\displaystyle w=w_{1}e_{1}+\ldots +w_{n}e_{n}}$ значение формы

${\displaystyle f(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}v_{i}w_{j}}$,

где ${\displaystyle a_{ij}=f\left(e_{i},e_{j}\right)}$. Иногда полином ${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}v_{i}w_{j}}$ от переменных ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},w_{1},\ldots ,w_{n}}$ отождествляют с ${\displaystyle f}$ и называют билинейной формой на ${\displaystyle V}$. Если кольцо ${\displaystyle A}$ коммутативно, то билинейная форма есть частный случай полуторалинейной формы (с тождественным антиавтоморфизмом).

Пусть кольцо ${\displaystyle A}$ коммутативно. Билинейная форма ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle A}$-модуле ${\displaystyle V}$ называется симметрической (соответственно антисимметрической, или кососимметрической), если для всех ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ будет ${\displaystyle f\left(v_{1},v_{2}\right)=f\left(v_{2},v_{1}\right)}$ (соответственно ${\displaystyle f\left(v_{1},v_{2}\right)=-f\left(v_{2},v_{1}\right))}$ и называется знакопеременной, если ${\displaystyle f(v,v)=0}$. Знакопеременная билинейная форма антисимметрична, обратное верно только, если для любого ${\displaystyle a\in A}$ из ${\displaystyle 2a=0}$ следует ${\displaystyle a=0}$. Если ${\displaystyle V}$ имеет конечный базис, то симметрические (соответственно антисимметрические, знакопеременные) формы на ${\displaystyle V}$ и только они имеют в этом базисе симметрическую (соответственно антисимметрическую, знакопеременную) матрицу. Отношение ортогональности относительно симметрической или антисимметрической формы на ${\displaystyle V}$ симметрично.

Билинейная форма ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle V}$ называется изометричной билинейной форме ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle W}$, если существует такой изоморфизм ${\displaystyle A}$-модулей ${\displaystyle \varphi \colon V\to W}$, что

${\displaystyle g(\varphi (v),\varphi (w))=f(v,w)}$

для любых ${\displaystyle v\in V}$. Этот изоморфизм называется изометрией форм, а если ${\displaystyle V=W}$ и ${\displaystyle f=g}$ – метрическим автоморфизмом модуля ${\displaystyle V}$ (или автоморфизмом формы ${\displaystyle f}$). Метрические автоморфизмы модуля образуют группу (группу автоморфизмов формы ${\displaystyle f}$), примеры таких групп – ортогональная группа, симплектическая группа.

Пусть ${\displaystyle A}$ – тело, ${\displaystyle f}$ – билинейная форма на ${\displaystyle V\times W}$, пространства${\displaystyle V/W^{\perp }}$ и${\displaystyle W/V^{\perp }}$ конечномерны над ${\displaystyle A}$, тогда

${\displaystyle \operatorname {dim} V/W^{\perp }=\operatorname {dim} W/V^{\perp }}$,

и это число называется рангом ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle V}$ конечномерно, a ${\displaystyle f}$ невырождена, то ${\displaystyle \operatorname {dim} V=\operatorname {dim} W}$ и для каждого базиса ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ в ${\displaystyle V}$ существует дуальный относительно ${\displaystyle f}$ базис ${\displaystyle w_{1},\dots w_{n}}$ в ${\displaystyle W}$, определяемый условиями ${\displaystyle f\left(v_{i},w_{j}\right)=\delta _{ij}}$ (${\displaystyle \delta _{ij}}$ – символы Кронекера). Пусть, кроме того, ${\displaystyle V=W}$, тогда подмодули ${\displaystyle V^{\perp }}$ и ${\displaystyle W^{\perp }}$ называются соответственно правым и левым ядрами ${\displaystyle f}$; для симметрических и антисимметрических форм правое и левое ядра совпадают и называются просто ядpом формы.

Пусть ${\displaystyle f}$ – симметрическая или антисимметрическая билинейная форма на ${\displaystyle V}$. Элемент ${\displaystyle v\in V}$, для которого ${\displaystyle f(v,v)=0}$, называется изотропным; подмодуль ${\displaystyle M\subset V}$ называется изотропным, если ${\displaystyle M\cap M^{\perp }\neq \{0\}}$, и вполне изотропным, если ${\displaystyle M\subset M^{\perp }}$. Вполне изотропные подмодули играют важную роль в изучении структуры билинейных форм (см. разложение Витта, теорема Витта, кольцо Витта). О строении билинейных форм см. также квадратичная форма.

Пусть ${\displaystyle A}$ коммутативно и пусть ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(V,W)}$ есть ${\displaystyle A}$-модуль всех ${\displaystyle A}$-линейных отображений ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle W}$, а ${\displaystyle L^{2}(V,W,A)}$ – ${\displaystyle A}$-модуль всех билинейных форм на ${\displaystyle V\times W}$. Для всякой билинейной формы на ${\displaystyle V\times W}$ и всякого ${\displaystyle v_{0}\in V}$ формула

${\displaystyle l_{f,v_{0}}(w)=f\left(v_{0},w\right),\quad w\in W}$,

определяет ${\displaystyle A}$-линейную форму на ${\displaystyle W}$. Соответственно, для ${\displaystyle w_{0}\in W}$ формула

${\displaystyle r_{f,w_{0}}(v)=f\left(v,w_{0}\right),\quad v\in V}$,

определяет ${\displaystyle A}$-линейную форму на ${\displaystyle V}$. Отображение ${\displaystyle l_{f}\colon v_{0}\mapsto l_{f,v_{0}}}$ есть элемент из

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}\left(V,\operatorname {Hom} _{A}(V,A)\right)}$.

Аналогично определяется отображение ${\displaystyle r_{f}}$ из

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}\left(W,\operatorname {Hom} _{A}(V,A)\right)}$.

Отображения ${\displaystyle f\longmapsto l_{f}}$ и ${\displaystyle f\longmapsto r_{f}}$ осуществляют изоморфизмы ${\displaystyle A}$-модулей

${\displaystyle L^{2}(V,W,A)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{A}\left(V,\operatorname {Hom} _{A}(W,A)\right)}$

и

${\displaystyle L^{2}(V,W,A)\longrightarrow \operatorname {Hom} _{A}\left(W,\operatorname {Hom} _{A}(V,A)\right)}$.

Билинейная форма ${\displaystyle f}$ называется неособой слева (справа), если ${\displaystyle l_{f}}$ (${\displaystyle r_{f}}$) – изоморфизм; если ${\displaystyle f}$ неособая и слева и справа, то она называется неособой, в противном случае ${\displaystyle f}$ называется особой. Невырожденная билинейная форма может быть особой. Для свободных модулей ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ одинаковой конечной размерности билинейная форма ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle V\times W}$ является неособой тогда и только тогда, когда определитель матрицы ${\displaystyle f}$ относительно любых базисов в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle W}$ – обратимый элемент кольца ${\displaystyle A}$. Следующие изоморфизмы

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(V,V){\stackrel {l}{\longrightarrow }}L^{2}(V,W,A)}$

и

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(W,W){\stackrel {r}{\longrightarrow }}L^{2}(V,W,A)}$,

задаваемые неособой билинейной формой ${\displaystyle f}$, определяются формулами ${\displaystyle l(\varphi )(v,w)=f(\varphi (v),w)}$ и ${\displaystyle r(\psi )(v,w)=f(v,\psi (w))}$. Эндоморфизмы ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Hom} _{A}(V,V)}$ и ${\displaystyle \psi \in \operatorname {Hom} _{A}(W,W)}$ называются сопряжёнными относительно ${\displaystyle f}$, если

${\displaystyle \psi =\left(r^{-1}\circ l\right)(\varphi )}$.