Эллиптический оператор

Эллипти́ческий опера́тор, линейный дифференциальный или псевдодифференциальный оператор с обратимым главным символом.

Пусть ${\displaystyle A}$ – дифференциальный или псевдодифференциальный оператор (вообще говоря, матричный) на области ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ с главным символом ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )}$. Если ${\displaystyle A}$ – оператор порядка ${\displaystyle m}$, то ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )}$ – матричная функция на ${\displaystyle X\times (\mathbb {R} ^{n}\backslash 0)}$ положительно однородная порядка ${\displaystyle m}$ по переменному ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash 0}$. Тогда эллиптичность означает, что ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )}$ – обратимая матрица при всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash 0}$. Это понятие эллиптичности называется эллиптичностью по Петровскому.

Другой вид эллиптичности, эллиптичность по Дуглису – Ниренбергу, предполагает, что ${\displaystyle A}$ – матричный оператор, ${\displaystyle A=\left(A_{ij}\right)_{i,j=1}^{d}}$, где ${\displaystyle A_{ij}}$ – оператор порядка ${\displaystyle s_{j}-t_{i}}$, ${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{d})}$ и ${\displaystyle (t_{1},\dots ,t_{d})}$ – некоторые наборы действительных чисел. Тогда можно образовать матрицу главных символов ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )=(\sigma _{A_{ij}}(x,\xi ))_{i,j}^{d}=1}$, где функция ${\displaystyle \sigma _{A_{ij}}(x,\xi )}$ положительно однородна по ${\displaystyle \xi }$ порядка ${\displaystyle s_{j}-t_{i}}$. Тогда эллиптичность по Дуглису – Ниренбергу означает, что матрица ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )}$ обратима при всех ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\backslash 0}$.

Эллиптичность оператора ${\displaystyle A}$ на многообразии означает эллиптичность операторов, которые получаются из него при его записи в локальных координатах. Равносильным образом эту эллиптичность можно описать как обратимость главного символа ${\displaystyle \sigma _{A}}$, который является функцией на ${\displaystyle T^{*}X\backslash 0}$, где ${\displaystyle T^{*}X}$ – кокасательное расслоение к ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle T^{*}X\backslash 0}$ – то же расслоение без нулевого сечения. Если оператор ${\displaystyle A}$ действует в сечениях векторных расслоений ${\displaystyle A\colon C^{\infty }(X,E)\to C^{\infty }(X,E)}$, то эллиптичность оператора означает обратимость линейного оператора ${\displaystyle \sigma _{A}(x,\xi )\colon E_{x}\to F_{x}}$ для любой точки ${\displaystyle (x,\xi )\in T^{*}X\backslash 0}$ ${\displaystyle (}$здесь ${\displaystyle E_{x}}$, ${\displaystyle F_{x}}$ – слои расслоений ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x)}$. Примером эллиптического оператора является оператор Лапласа.

Эллиптичность оператора равносильна отсутствию у него действительных характеристических направлений. Эллиптичность можно также понимать микролокально. А именно, эллиптичность оператора ${\displaystyle A}$ в точке ${\displaystyle ({\text{х}}_{0},\xi _{0})}$ означает обратимость матрицы (линейного отображения) ${\displaystyle \sigma _{A}(x_{0},\xi _{0})}$.

Эллиптичность псевдодифференциального оператора на многообразии с краем [например, оператора из алгебры Бутеде Монвеля (Rempel. 1982^[1]; Boutet de Monvel. 1971^[2])] в граничной точке означает обратимость некоторого модельного оператора граничной задачи на полуоси. Этот модельный оператор получается из исходного выпрямлением границы, замораживанием коэффициентов главных частей оператора и граничных условий в рассматриваемой точке и взятием преобразования Фурье по касательным направлениям ${\displaystyle (}$от ${\displaystyle x'}$ к ${\displaystyle \xi ')}$ с последующим фиксированием ненулевого вектора ${\displaystyle \xi '}$, который можно рассматривать как кокасательный вектор к границе. В случае дифференциального оператора и дифференциальных граничных условий описанное условие эллиптичности может быть записано в алгебраических терминах. В этом случае (а также иногда и в общем случае) это условие часто называется условием Шапиро – Лопатинского, или условием коэрцитивности.

Наиболее характерными свойствами эллиптических операторов являются: 1) свойства регулярности решений соответствующих уравнений; 2) точные априорные оценки; 3) фредгольмовость эллиптического оператора на компактных многообразиях.

Ниже, для простоты, коэффициенты и символы всех операторов считаются бесконечно гладкими.

Пусть дано уравнение ${\displaystyle Au=f}$, где ${\displaystyle A}$ – эллиптический оператор. Простейшее свойство регулярности таково: если ${\displaystyle f\in C^{\infty }}$, то ${\displaystyle u\in C^{\infty }}$. Это свойство верно для любых дифференциальных эллиптических операторов с гладкими коэффициентами или псевдодифференциальных эллиптических операторов (с гладкими символами). Оно верно и для эллиптического оператора краевой задачи (т. е. верно вплоть до границы при выполнении условия Шапиро – Лопатинского). Уточнением этого свойства является его микролокальный вариант: если оператор ${\displaystyle A}$ эллиптичен в точке ${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})}$ ${\displaystyle (}$здесь ${\displaystyle x_{0}}$ – внутренняя точка ${\displaystyle X)}$ и ${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})\not \in WF(f)}$, то ${\displaystyle (x_{0},\xi _{0})\in WF(u)}$, где ${\displaystyle WF}$ означает волновой фронт (распределения или функции). Другое уточнение: если ${\displaystyle A}$ – эллиптический оператор порядка ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle f\in W_{p}^{s}}$, то ${\displaystyle u\in W_{p}^{s+m}}$, где ${\displaystyle W_{p}^{s}}$ – пространство Соболева, ${\displaystyle 1<p<\infty }$. Если ${\displaystyle A}$ – дифференциальный эллиптический оператор с аналитическими коэффициентами, то из аналитичности ${\displaystyle f}$ вытекает аналитичность ${\displaystyle u}$ (в случае уравнений с постоянными коэффициентами это свойство необходимо и достаточно для эллиптичности). Соответствующий микролокальный вариант также справедлив и формулируется на языке аналитических волновых фронтов.

Локальная априорная оценка для эллиптического оператора ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle m}$ имеет вид

${\displaystyle \ \mid u\ \mid _{W_{p}^{s+m}(\Omega )}\leqslant C\left(\ \mid f\ \mid _{W_{p}^{s}(\Omega ')}+\ \mid u\ \mid _{W_{p}^{-N}(\Omega ')}\right)}$ (1),

где ${\displaystyle 1<p<\infty }$, ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle N\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \Omega '}$ – две области в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, причём ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ – компакт, принадлежащий ${\displaystyle \Omega '}$, ${\displaystyle Au=f}$ в ${\displaystyle \Omega '}$, постоянная ${\displaystyle C}$ не зависит от ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (}$но может зависеть от ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Omega '}$, ${\displaystyle N)}$.

Глобальная априорная оценка для эллиптического оператора ${\displaystyle A}$ порядка ${\displaystyle m}$ на компактном многообразии ${\displaystyle X}$ без края имеет тот же вид, что и ${\displaystyle (1)}$, но с заменой ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \Omega '}$ на ${\displaystyle X}$. В случае многообразия с краем вместо норм пространств ${\displaystyle W_{p}^{s}}$ в ${\displaystyle (1)}$ нужно взять нормы, учитывающие структуру вектор-функций ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle f}$ (содержащих, вообще говоря, граничные компоненты). Например, пусть на компактном многообразии ${\displaystyle X}$ с краем ${\displaystyle Y}$ задан эллиптический оператор вида ${\displaystyle u\longmapsto (Au,B_{1}u\mid _{Y},\dots ,B_{r}u\mid _{Y})}$, где ${\displaystyle A}$ – эллиптический дифференциальный оператор порядка ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle B_{j}}$ – дифференциальные операторы порядков ${\displaystyle m_{j}}$, причём ${\displaystyle m_{j}<m}$ и выполнено условие Шапиро – Лопатинского ${\displaystyle (}$для оператора ${\displaystyle A}$ и системы граничных операторов ${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{r})}$. Тогда априорная оценка в пространствах Соболева ${\displaystyle H^{s}=W_{2}^{s}}$ имеет вид

${\displaystyle \ \mid u\ \mid _{s}\leqslant C\left(\ \mid Au\ \mid _{s-m}+\sum _{j=1}^{r}\ \mid B_{j}u\mid _{Y}\ \mid _{s-mj-1/2}^{\prime }+\ \mid u\ \mid _{0}\right)}$,

где ${\displaystyle \ \mid \cdot \ \mid _{s}}$ – норма в пространстве ${\displaystyle H^{s}(X)}$, ${\displaystyle \ \mid \cdot \ \mid _{s}^{\prime }}$ – норма в пространстве ${\displaystyle H^{s}(Y)}$, ${\displaystyle s\geqslant m}$, ${\displaystyle u\in H^{s}(X)}$ и постоянная ${\displaystyle C>0}$ не зависит от ${\displaystyle u}$ (но может зависеть от ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B_{j}}$, ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и выбора норм в пространствах Соболева).

Эллиптический оператор на компактном многообразии (возможно, с краем) определяет фредгольмов оператор в соответствующих соболевских пространствах, а также в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Его индекс зависит лишь от главного символа и не меняется при непрерывных деформациях главного символа. Это позволяет поставить вопрос о вычислении индекса (см. Формулы индекса).

Важную роль играют эллиптические операторы с параметром (см. Агранович. 1964^[3]). При выполнении условия эллиптичности с параметром на компактном многообразии при больших по модулю значениях параметра рассматриваемый эллиптический оператор оказывается обратимым, причём в глобальной априорной оценке типа ${\displaystyle (1)}$ можно опустить последний член (младшую норму и в правой части).