K-теория

K-тео́рия, раздел алгебраической топологии, изучающий свойства векторных расслоений алгебраическими и топологическими методами. В отличие от алгебраической K-теории, иногда называется топологической ${\displaystyle K}$-теорией. В расширенном смысле термин «${\displaystyle K}$-теория» употребляется для обозначения области математики, включающей в себя алгебраическую ${\displaystyle K}$-теорию и топологическую ${\displaystyle K}$-теорию и характеризующейся специфическими алгебраическими и топологическими методами исследования, называемыми методами ${\displaystyle K}$-теории. В узком смысле ${\displaystyle K}$-теория – обобщённая теория когомологий, порождённая категорией векторных расслоений.

Источником ${\displaystyle K}$-теории являются векторные косые произведения (расслоения), изучаемые в алгебраической топологии, и их многочисленные гомотопические и алгебраические свойства. Наиболее важные свойства расслоений и связанные с ними понятия, используемые в ${\displaystyle K}$-теории, – это свойства характеристических классов расслоений, классифицирующие пространства, алгебраические операции с расслоениями (прямые суммы, тензорные произведения, внешние степени), прообраз расслоения. Вторым источником ${\displaystyle K}$-теории является связь с алгебраической ${\displaystyle K}$-теорией, которая заключается в том, что пространство непрерывных сечений векторного расслоения можно рассматривать как модуль над алгеброй непрерывных функций, который оказывается проективным модулем.

По аналогии с ${\displaystyle K}$-функторами в алгебраической ${\displaystyle K}$-теории были определены группы ${\displaystyle K(X)}$ как группы Гротендика категории векторных расслоений с базой ${\displaystyle X}$. Используя понятие индуцированного расслоения, определённые группы ${\displaystyle K(X)}$ дополняют до определения функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. Обычно ${\displaystyle K}$-функтор изучается не во всей категории топологических пространств, а в меньших подкатегориях. Наиболее употребительной является категория клеточных пространств (комплексов). Определение ${\displaystyle K}$-функтора распространяют на категории пунктированных топологических пространств и пар топологических пространств и дополняют группами ${\displaystyle K^{i}(X,A)}$, ${\displaystyle i\leqslant 0}$, полагая

${\displaystyle K^{i}(X,A)=K(X\times D^{-i},X\times S^{-i-1}\cup A\times D^{-i})}$,

где ${\displaystyle D^{-i}}$ есть – ${\displaystyle i}$-мерный диск, a ${\displaystyle S^{-i-1}}$ – его граница. Совокупность функторов ${\displaystyle K^{i}}$, ${\displaystyle i\leqslant 0}$, удовлетворяет аксиомам обобщённой теории когомологий, которые следует видоизменить с учётом неравенства ${\displaystyle i<0}$.

Различают ${\displaystyle K}$-теорию, построенную по категории вещественных векторных расслоений (вещественная ${\displaystyle K}$-теория), и ${\displaystyle K}$-теорию, построенную по категории комплексных векторных расслоений (комплексная ${\displaystyle K}$-теория). Изучаются и другие варианты ${\displaystyle K}$-теории с учётом дополнительных структур в векторных расслоениях, например эквивариантная ${\displaystyle K}$-теория.

Важным свойством групп ${\displaystyle K(X)}$ при построении обобщённой теории когомологий является периодичность Ботта в комплексной ${\displaystyle K}$-теории. Она позволяет, в частности, снять ограничение ${\displaystyle i\leqslant 0}$ и превратить функторы ${\displaystyle K^{i}}$ в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированную обобщённую теорию когомологий. Основное же значение периодичности Ботта заключается в широких вычислительных возможностях построенной ${\displaystyle K}$-теории.

K ${\displaystyle K}$-теории применимы вычислительные методы обобщённой теории когомологий, в частности метод спектральных последовательностей, позволивший вычислить группы ${\displaystyle K(X)}$ для многих классических конечномерных и бесконечномерных пространств. Например, если ${\displaystyle X=\mathbb {C} P^{n}}$ – комплексное проективное пространство, то

${\displaystyle K(\mathbb {C} P^{n})=\mathbb {Z} \;[u]/\{u^{n+1}\}}$,

где ${\displaystyle u=[\eta ]-1}$, а ${\displaystyle \eta }$ – одномерное расслоение Хопфа.

Для вещественной ${\displaystyle K}$-теории с помощью теоремы периодичности Ботта строится ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$-градуированная обобщённая теория когомологий. С применением дополнительных алгебраических структур в векторных расслоениях построены более общие теории когомологий, органически включающие в себя комплексную вещественную и симплектическую ${\displaystyle K}$-теорию.

В 1960-х гг. с помощью ${\displaystyle K}$-теории переосмыслены многие задачи как в топологии, так и в других разделах математики. Наиболее важные результаты в ${\displaystyle K}$-теории связаны с систематическим изучением характеристических классов и когомологических операций, в терминах которых были доказаны теоремы целочисленности для мультипликативных родов (аналоги теоремы Римана – Роха), даны простые и прозрачные решения классических задач, связанные с алгебрами с делением и векторными полями на сферах.

Методы топологической ${\displaystyle K}$-теории дали толчок для развития других разделов топологии, например теории бордизмов. Важное значение для развития дифференциальной топологии имело доказательство гипотезы Адамса об описании ${\displaystyle J}$-функтора в терминах когомологических операций ${\displaystyle K}$-теории (см.: Сулливан. 1975^[1]).

Наиболее впечатляющим является использование методов ${\displaystyle K}$-теории в проблеме вычисления индекса эллиптических операторов. С помощью геометрических конструкций векторных расслоений были разумно обобщены понятия дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, их символов, пространств Соболева, эллиптических операторов и их индексов и получена формула Атьи – Зингера (Atiyah. 1963)

${\displaystyle \mathrm {ind} \;\sigma (D)=<\operatorname {ch} \sigma \cdot T(X),[X]>}$,

описывающая индекс эллиптического оператора на компактном замкнутом многообразии ${\displaystyle X}$ с символом ${\displaystyle \sigma }$ в терминах класса Тодда ${\displaystyle (X)}$ и характера Чжэня оператора ${\displaystyle \sigma (D)}$. Kак следствие, из формулы Атьи – Зингера получаются частные формулы для различных классов операторов, имеющих важное значение в геометрии, топологии и других разделах математики. Например, формула Хирцебруха выражает сигнатуру ориентированного компактного замкнутого многообразия через характеристические числа Понтрягина этого многообразия. Сама формула Хирцебруха и её обобщения на неодносвязные многообразия применяется в дифференциальной топологии в задачах классификации гладких структур многообразий.

В 1970-х гг. появились обобщения ${\displaystyle K}$-теории, связанные с применением в ней функциональных методов и приспособлением ${\displaystyle K}$-теории к различным задачам топологии, геометрии, теории дифференциальных уравнений. Одно из обобщений заключается в замене категории векторных расслоений на категорию локально тривиальных расслоений, слоем которых является конечно порождённые модули, проективные над некоторой ${\displaystyle C^{*}}$-алгеброй ${\displaystyle A}$, а структурные группы суть группы автоморфизмов этих модулей. С помощью этого класса расслоений построены нетривиальные когомологические инварианты бесконечномерных представлений бесконечных дискретных групп ${\displaystyle \pi }$. Если дискретная группа ${\displaystyle \pi }$ является фундаментальной группой компактного многообразия, допускающего риманову метрику неположительной кривизны двумерной, то характеристические числа вида

${\displaystyle \tau _{x}(M)=\langle l(m)x,\,[m]\rangle }$

– т. н. высшие сигнатуры – являются гомотопическими инвариантами (здесь ${\displaystyle x}$ – произвольный рациональный класс Понтрягина – Хирцебруха многообразия ${\displaystyle M}$ с фундаментальной группой ${\displaystyle \pi }$).

В расширенном смысле методы ${\displaystyle K}$-теории оказали большое влияние на развитие идей дифференциальной топологии. С помощью соединения алгебраической и топологической ${\displaystyle K}$-теорий в дифференциальной топологии были решены задачи о классификации гладких и кусочно-линейных структур на многообразиях, о гомотопической и топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина и др. Методы ${\displaystyle K}$-теории имеют широкое применение в функциональном анализе, в частности в теории банаховых алгебр.