Группа Пикара

Гру́ппа Пика́ра, группа классов обратимых пучков (или линейных расслоений). Более точно, пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ – окольцованное пространство. Пучок ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ называется обратимым, если он локально изоморфен структурному пучку ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$. Множество классов изоморфных обратимых пучков на ${\displaystyle X}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$. Тензорное произведение ${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\prime }}$ определяет на множестве ${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)}$ операцию, превращающую его в абелеву группу, называемую группой Пикарa пространства ${\displaystyle X}$. Группа ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ естественно изоморфна группе когомологий ${\displaystyle H^{1}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}\right)}$, где ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$ – пучок обратимых элементов в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

Для коммутативного кольца ${\displaystyle A}$ группой Пикара ${\displaystyle \operatorname {Pic} A}$ называется группа классов обратимых ${\displaystyle A}$-модулей; ${\displaystyle \operatorname {Pic} A\cong \operatorname {Pic} (\operatorname {Spec} A)}$. Для кольца Крулля ${\displaystyle A}$ группа ${\displaystyle \operatorname {Pic} A}$ тесно связана с группой классов дивизоров этого кольца.

Группа Пикара полного нормального алгебраического многообразия обладает естественной алгебраической структурой (см. Схема Пикара). Связная компонента нуля группы ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$ обозначается ${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(X)}$ и называется многообразием Пикара для ${\displaystyle X}$; это алгебраическая группа (абелево многообразие, если многообразие ${\displaystyle {X}}$ гладко). Факторгруппа ${\displaystyle \mathrm {Pic} (X)/\mathrm {Pic} ^{0}(X)}$ называется группой Нерона – Севери и имеет конечное число образующих; ранг её называется числом Пикара. В комплексном случае, когда ${\displaystyle X}$ – гладкое проективное многообразие над ${\displaystyle \mathbb {C} }$, группа ${\displaystyle \mathrm {Pic} ^{0}(X)}$ изоморфна факторгруппе пространства ${\displaystyle H^{0}\left(X,\Omega _{X}^{1}\right)}$ голоморфных 1-форм на ${\displaystyle X}$ по решётке ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )}$.