Спектр кольца

Спектр кольца́, окольцованное топологическое пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, точками которого являются простые идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle A}$ с топологией Зариского на нём (которая называется также спектральной топологией). При этом предполагается, что кольцо ${\displaystyle A}$ коммутативно и с единицей. Элементы кольца ${\displaystyle A}$ можно рассматривать как функции на пространстве ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, полагая ${\displaystyle a({\mathfrak {p}})=a{\bmod {\mathfrak {p}}}\in A/{\mathfrak {p}}}$. Пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ несёт пучок локальных колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\operatorname {Spec} A)}$, называемый структурным пучком. Для точки ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A}$ слой пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\operatorname {Spec} A)}$ над ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ – это локализация ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Любому гомоморфизму колец ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow A^{\prime }}$, переводящему единицу в единицу, отвечает непрерывное отображение ${\displaystyle \varphi ^{*}:\operatorname {Spec} A^{\prime }\rightarrow \operatorname {Spec} A}$. Если ${\displaystyle N}$ – нильрадикал кольца ${\displaystyle A}$, то естественное отображение ${\displaystyle \mathrm {Spec} A/N\rightarrow \operatorname {Spec} A}$ является гомеоморфизмом топологических пространств.

Для ненильпотентного элемента ${\displaystyle f\in A}$ пусть ${\displaystyle D(f)=\operatorname {Spec} A\backslash V(f)}$, где ${\displaystyle V(f)=\{p\in \mathrm {Spec} A\mid f\in {\mathfrak {p}}\}}$. Тогда окольцованные пространства ${\displaystyle D(f)}$ и ${\displaystyle \operatorname {Spec} A_{(f)}}$, где ${\displaystyle A_{(f)}}$ – локализация ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle f}$, изоморфны. Множества ${\displaystyle D(f)}$ называются главными открытыми множествами. Они образуют базис топологического пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$. Точка ${\displaystyle p\in \operatorname {Spec} A}$ замкнута тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ – максимальный идеал кольца ${\displaystyle A}$. Сопоставляя точке ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ её замыкание ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$ в ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, получают взаимно однозначное соответствие между точками пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ и множеством замкнутых неприводимых подмножеств в ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$. Пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ квазикомпактно, но, как правило, не является хаусдорфовым. Размерностью пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ называется наибольшее ${\displaystyle n}$, для которого существует цепочка различных замкнутых неприводимых множеств ${\displaystyle Z_{0}\subset \ldots .\subset Z_{n}\subseteq \operatorname {Spec} A}$.

Многие свойства кольца ${\displaystyle A}$ можно охарактеризовать в терминах топологического пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$. Например, кольцо ${\displaystyle A}$ нётерово тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ – нётерово пространство; пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ неприводимо тогда и только тогда, когда кольцо ${\displaystyle A/N}$ является областью целостности; размерность ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ совпадает с размерностью Крулля кольца ${\displaystyle A}$ и т. д.

Иногда рассматривают максимальный спектр ${\displaystyle \operatorname {Specm} A}$ – подпространство пространства ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$, состоящее из замкнутых точек. Для градуированного кольца ${\displaystyle A}$ рассматривают также проективный спектр ${\displaystyle \operatorname {Proj} A}$. Если ${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}}$, то точки ${\displaystyle \operatorname {Proj} A}$ – это простые однородные идеалы ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кольца ${\displaystyle A}$ такие, что ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\not \supset \sum _{n=1}^{\infty }A_{n}}$.