Отноше́ние эквивале́нтности, бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Более подробно, бинарное отношение $\sim$ на множестве $X$ называется отношением эквивалентности, если оно обладает свойствами:

(E1) $x\sim x$ для всех $x\in X$ (рефлексивность);

(E2) если $x\sim y$, то $y\sim x$ (симметричность);

(E3) если $x\sim y$ и $y\sim z$, то $x\sim z$ (транзитивность).

При этом если $x\sim y$, то говорят, что элементы $x$ и $y$ эквивалентны (относительно данного отношения эквивалентности $\sim$). Отношение эквивалентности часто обозначается символом $\equiv$.

Пусть на множестве $X$ задано отношение эквивалентности $\sim$; для каждого $x\in X$ множество $[x]=\{a\in X:a\sim x\}$ (т. е. множество элементов, эквивалентных данному элементу $x$) называется классом эквивалентности (более точно, классом эквивалентности элемента $x$). Два элемента эквивалентны в том и только том случае, если их классы эквивалентности совпадают, т. е. $x\sim y$ тогда и только тогда, когда $[x]=[y]$. Каждый элемент $x\in X$ принадлежит своему классу эквивалентности ($x\in [x]$), поэтому все классы эквивалентности непусты и их объединение совпадает с множеством $X$; кроме того, любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества $X$ по отношению эквивалентности $\sim$ и обозначается $X/{\sim}$.

Семейство $\mathcal{P}$ подмножеств множества $X$ называется разбиением этого множества, если оно а) состоит из непустых множеств; б) покрывает $X$ (т. е. если $\bigcup\mathcal P=X$, иначе говоря – если каждый $x\in X$ принадлежит некоторому $A\in\mathcal P$); в) состоит из попарно не пересекающихся множеств (т. е. $A\cap B=\varnothing$ для любых различных $A,B\in\mathcal P$). Каждому отношению эквивалентности $\sim$ на множестве $X$ соответствует разбиение $\mathcal P=X/{\sim}$ этого множества на классы эквивалентности, т. е. $\mathcal P=\{A\subset X: A=[x] \text{ для некоторого } x\in X\}.$Обратно, каждому разбиению $\mathcal{P}$ множества $X$ соответствует отношение эквивалентности $\sim$ на нём, определённое следующим образом: два элемента эквивалентны, если они оба принадлежат одному и тому же элементу этого разбиения, т. е. $x\sim y \text{ тогда и только тогда, когда } x,y\in A \text{ для некоторого }A\in\mathcal P;$при этом оказывается, что разбиение множества $X$ на классы эквивалентности относительно так определённого отношения $\sim$ совпадает с исходным разбиением $\mathcal{P}$, т. е. $X/{\sim}=\mathcal P$.

Указанные правила определяют обратные друг другу отображения, устанавливающие взаимно однозначное соответствие между множеством всех отношений эквивалентности на $X$ и множеством всех разбиений на нём. Это соответствие имеет фундаментальный характер; его существование неформально может быть выражено фразой: «задать отношение эквивалентности на множестве – это то же самое, что задать его разбиение».

Примеры отношений эквивалентности.

1. Отношение равенства на произвольном множестве: $x\sim y$ означает $x=y$. Классами эквивалентности являются одноэлементные множества.

2. Отношение эквивалентности на произвольном множестве $X$, отождествляющее все его элементы, т. е. определённое правилом: $x\sim y$ для всех $x,y\in X$. Если множество $X$ непусто, то оно является единственным классом эквивалентности. (На пустом множестве существует единственное отношение эквивалентности, и множество классов эквивалентности в этом случае пусто.)

3. Отношение параллельности на множестве прямых на плоскости (считается, что каждая прямая параллельна сама себе). Классами эквивалентности являются пучки параллельных прямых, которые могут быть отождествлены с точками «бесконечно удалённой прямой», которая дополняет «обычную» плоскость до проективной плоскости.

4. Отношение сравнимости по модулю $m$ на множестве целых чисел, где $m$ – натуральное число. Два целых числа $a$, $b$ эквивалентны, если они дают один и тот же остаток при делении на $m$ (или, что равносильно, если разность $a-b$ делится на $m$). Классами эквивалентности являются классы вычетов по модулю $m$.

5. На произвольном топологическом пространстве $X$ можно задать следующее отношение эквивалентности: $x\sim y$, если существует связное множество $A\subset X$, содержащее обе точки $x$ и $y$. Классы эквивалентности в этом случае называются компонентами связности пространства $X$; каждая компонента связности является связным замкнутым множеством.

6. На множестве вещественнозначных функций, определённых на произвольном множестве $T$, имеется отношение «равенства с точностью до постоянного слагаемого»: $f\sim g$ означает, что существует вещественное число $C$, такое, что $f(t)=g(t)+C$ для всех $t\in T$. Типичная ситуация возникновения такого отношения эквивалентности в математическом анализе – неопределённые интегралы, которые можно рассматривать как соответствующие классы эквивалентности первообразных функций.

7. На множестве функций из примера 6 также можно рассмотреть отношение «равенства с точностью до положительного постоянного множителя»: $f\sim g$ означает, что существует вещественное число $K>0$, такое, что $f(t)=Kg(t)$ для всех $t\in T$. Такое отношение эквивалентности возникает, например, в анализе размерностей в физике, когда зависимость физических величин может рассматриваться «с точностью до множителя», что обусловлено возможностью выбора различных единиц измерения.

Понятие отношения эквивалентности имеет фундаментальное значение и является математическим уточнением интуитивной идеи отождествления предметов по какому-либо признаку (и соответствующего разбиения их на классы, в каждый из которых попадают предметы, отождествлённые друг с другом по этому признаку). Описательно говоря, отношение эквивалентности на некотором множестве выражает «равенство» его элементов «с точностью до какого-то условия», а класс эквивалентности представляет собой элемент, «рассмотренный с этой точностью» (ср. примеры 6 и 7 выше, а также понятие высотного класса в теории музыки и музыкальной акустике).

Различные отношения эквивалентности (в частности, отношения параллельности прямых, подобия и конгруэнтности геометрических фигур) и соответствующие классы эквивалентности по существу рассматривались ещё в античной математике, но общая формализация и точные определения этих понятий были даны лишь в первой трети 20 в.