Структу́ра Хе́флигера коразмерности $q$ и класса $C^r$ на топологическом пространстве $X$, структура, определяемая с помощью хефлигеровского атласа (называется также хефлигеровским коциклом) $\left\{U_\alpha, \Psi_{\alpha \beta}\right\}$, где $U_\alpha$ – открытые подмножества, покрывающие $X$, а$$\Psi_{\alpha \beta}: U_\alpha \cap U_\beta \rightarrow \Gamma_r^q, \quad u \rightarrow \Psi_{\alpha \beta, u}$$– непрерывные отображения $U_\alpha \cap U_\beta$ в пучок $\Gamma_r^q$ ростков локальных $C^r$-диффеоморфизмов пространства $\mathbb{R}^q$, причём$$\Psi_{\gamma \alpha, u}=\Psi_{\gamma \beta, u} \circ \Psi_{\beta \alpha, u} \quad \text { при } \quad u \in U_\alpha \cap U_\beta \cap U_\gamma.$$Два хефлигеровских атласа определяют одну и ту же структура Хефлигера, если они являются частями некоторого большего хефлигеровского атласа. (Таким образом, структуру Хефлигера можно определить как максимальный хефлигеровский атлас.) Если на $X$ задана структура Хефлигера $\mathscr{H}$ посредством атласа $\left\{U_\alpha, \Psi_{\alpha \beta} \right \}$ и $f: Y \longrightarrow X$ – непрерывное отображение, то атлас $\left\{f^{-1} U_\alpha, \Psi_{\alpha \beta}^{\prime}\right\}$, где $\Psi_{\alpha \beta, u}^{\prime}=\Psi_{\alpha \beta, f(u)}$, определяет индуцированную структуру Хефлигера $f^* \mathscr{H}$ (она не зависит от конкретного выбора атласа, задающего $\mathscr{H}$).

Пусть $X$ – многообразие и на нём задано слоение $\mathscr{F}$ посредством субмерсий $\left\{\left(U_\alpha, \varphi_\alpha\right)\right\}$, согласованных в том смысле, что если $u \in U_\alpha \cap U_\beta$, то существует локальный $C^r$-диффеоморфизм $\Phi_{\beta \alpha, u}$, с помощью которого можно перейти от $\varphi_\alpha(v)$ к $\varphi_\beta(v)$ :$$\tag{$*$}\Phi_\beta(v)=\Phi_{\beta \alpha, u}\left(\varphi_\alpha(v)\right)$$при всех $v$, достаточно близких к $u$. Если положить $\Psi_{\beta \alpha, u}=$ росток $\Phi_{\beta \alpha, u}$ в $u$, то $\Psi_{\beta \alpha}: u \longrightarrow \Psi_{\beta \alpha, u}$ есть отображение $U_\alpha \cap U_\beta \longrightarrow \Gamma_r^q$, и $\left\{U_\alpha, \Psi_{\beta \alpha}\right\}$ – хефлигеровский атлас. При этом $\varphi_\alpha$ однозначно восстанавливается по хефлигеровскому атласу: $\varphi_\alpha(u)$ – та точка, ростком в которой является $\Psi_{\alpha \alpha, u}$. Полученное соответствие между слоениями и некоторыми структурами Хефлигера не зависит от случайностей построения [выбор системы $\left\{\left(U_\alpha, \varphi_\alpha\right)\right\}$]; различным слоениям соответствуют различные структуры Хефлигера, но существуют структуры Хефлигера, не соответствующие никакому слоению. Поэтому структура Хефлигера является обобщением понятия слоения.

В общем случае для структуры Хефлигера можно так же, как и выше, определить отображения $\varphi_\alpha: U_\alpha \rightarrow \mathbb{R}^q$. Если $\Phi_{\beta \alpha, u}$ – представитель ростка $\Psi_{\beta \alpha, u}$, то $\varphi_\alpha(v)$ и $\varphi_\beta(v)$ в некоторой окрестности точки $u$ по-прежнему связаны соотношением (*). Но так как $\varphi_\alpha$ и $\varphi_\beta$ уже не обязательно субмерсии, то из $(*)$, вообще говоря, уже нельзя однозначно определить $\Psi_{\beta \alpha, u}$. Поэтому в общем случае приходится формулировать определение структуры Хефлигера не в терминах $\left\{\left(U_\alpha, \varphi_\alpha\right)\right\}$, а включая $\Psi_{\beta \alpha}$ в определение.

Если $f: N \rightarrow M$ есть $C^r$-отображение многообразий, трансверсальное к слоям заданного на $M$ слоения $\mathscr{F}$ коразмерности $q$ и класса $C^r$, то разбиение $N$ на связные компоненты прообразов слоёв $\mathscr{F}$ является слоением, которое, естественно, называется индуцированным слоением; оно обозначается $f^* \mathscr{F}$. Если согласованная система субмерсий $\left\{\left(U_\alpha, \varphi_\alpha\right)\right\}$ задаёт $\mathscr{F}$, то $f^* \mathscr{F}$ определяется согласованной системой субмерсий $\left\{\left(f^{-1} U_\alpha, \varphi_\alpha\right.\right.\circ f\left.)\right\}$; в этом случае индуцированная структура Хефлигера – по существу то же самое, что и индуцированное слоение. Если же $f$ не трансверсально к слоям $\mathscr{F}$, индуцированного слоения нет, а есть только индуцированная структура Хефлигера. Поэтому в гомотопической теории слоений неизбежно обращение к структуре Хефлигера, хотя бы на некоторых промежуточных этапах рассуждений.

Обнаружено (Haefliger. 1970), что для структуры Хефлигера сохраняется известная для расслоений связь между их классификацией и непрерывными отображениями в классифицирующее пространство. Таковое для структуры Хефлигера коразмерности $q$ и класса $C^r$ обозначается $B \Gamma_q^r$. На нём самом имеется некоторая «универсальная» структура Хефлигера $\mathscr{H}$ (в этом отношении $B \Gamma_q^r$ напоминает скорее универсальное расслоение). Для любого «хорошего» топологического пространства $X$ (например, клеточного полиэдра) любая структура Хефлигера на $X$ индуцируется из $\mathscr{H}$ при некотором непрерывном отображении $f: X \rightarrow B \Gamma_q^r$. Отображения $f_0, f_1: X \rightarrow B \Gamma_q^r$ гомотопны тогда и только тогда, когда структуры Хефлигера $f_0^* \mathscr{H}$ и $f_1^* \mathscr{H}$ конкордантны, т. е. получаются при «ограничении» некоторой структуры Хефлигера на «цилиндре» $X \times[0,1]$ на его «дно» и «крышку».

Всё сказанное относится также к топологическим, аналитическим и кусочно-линейным структурам Хефлигера, причём первые 2 случая формально охватываются предыдущим текстом, если принять $r=0$ или $r=\omega$, а последний случай требует некоторой перефразировки.