Слое́ние на $n$-мерном многообразии $M^n$ – такое разбиение $M^n$ на линейно связные подмножества, именуемые слоями, что $M^n$ можно покрыть координатными окрестностями $U_\alpha$ с локальными координатами $x_\alpha^1,\dots,x_\alpha^n$, в терминах которых локальные слои – компоненты связности пересечения слоёв с $U_\alpha$ – задаются уравнениями $x_\alpha^{p+1} = {\rm const},\dots, x_\alpha^n={\rm const}$. Слоение в этом смысле называется топологическим слоением; требуя же, чтобы $M^n$ имело кусочно линейную, дифференцируемую или аналитическую структуру и чтобы локальные координаты были кусочно линейными, дифференцируемыми (класса $C^r$) или аналитическими, получают определение кусочно линейного, дифференцируемого (класса $C^r$) или аналитического слоения. Определение дифференцируемого слоения класса $C^r$ формально годится и при $r=0$, совпадая в этом случае с определением топологического слоения. Обычно, говоря о дифференцируемом слоении, подразумевают, что $r\geqslant 1$. Слои естественно снабжаются структурой $p$-мерных многообразий (топологических, кусочно линейных, дифференцируемых или аналитических) и тем самым оказываются подмногообразиями (в широком смысле слова) многообразия $M^n$. Число $p$ (размерность слоёв) называется размерностью слоения, a $q=n-p$ – его коразмерностью. Рассматривая слоения на многообразии с краем, обычно требуют либо трансверсальности слоёв к краю, либо же того, чтобы слой, пересекающийся с краем, целиком в нём содержался. Очевидным образом определяются комплексно-аналитические слоения. Основным в теории слоений является дифференцируемый случай (ниже слоения и отображения, как правило, подразумеваются дифференцируемыми).

Отображение$$\varphi_\alpha: U_\alpha\to \mathbb R^q,\quad u\to \big(x_\alpha^{p+1}(u),\dots,x_\alpha^n(u)\big)$$является субмерсией. Локальные слои суть $\varphi_\alpha^{-1}(c)$, $c\in \mathbb R^q$. Система локальных субмерсий $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ является согласованной в том смысле, что если $u\in U_\alpha\cap U_\beta$, то возле $u$ можно перейти от $\varphi_\alpha(v)$ к $\varphi_\beta(v)$ с помощью некоторого локального диффеоморфизма $\Phi_{\beta\alpha, u}$ (класса $C^r$) пространства $\mathbb R^q$, т. е. для всех $v$, достаточно близких к $u$, имеет место $\varphi_\beta(v) = \Phi_{\beta\alpha, u}\varphi_\alpha(v)$. Обратно, если $M^n$ покрыто областями $U_\alpha$ и заданы субмерсии $\varphi_\alpha: U_\alpha\to \mathbb R^q$, согласованные в том же смысле, что и выше, то путём подходящего «склеивания» $\varphi_\alpha^{-1}(c)$ между собой получается такое слоение, что каждое $\varphi_\alpha^{-1}(c)$ содержится в некотором слое.

Сопоставление каждой точке $u\in M^n$ касательного пространства к проходящему через эту точку слою, приводит к некоторому полю $p$-мерных касательных подпространств (по другой терминологии, $p$-мерному распределению), которое называется касательным полем слоения. При $p = 1$ любое поле $p$-мерных касательных подпространств, при самых минимальных требованиях дифференцируемости, является касательным полем некоторого однозначно определённого слоения. При $p> 1$ это не так. Данный вопрос имеет локальный характер (см. Теорема Фробениуса). Непосредственное применение теоремы Фробениуса к инволютивному распределению показывает, что при выполнении соответствующих условий имеется система согласованных локальных субмерсий $\varphi_\alpha$, для которых заданное поле касается $\varphi_\alpha^{-1}(c)$, переход к слоению осуществляется путём надлежащих «склеиваний» (в других терминах это описано в Шeваллe. 1948).

Формирование понятия слоения произошло в 1940-х гг. в цикле работ Ж. Риба (G. Reeb) и Ш. Эресмана, завершившемся книгой (Reeb. 1952; в связи с историей см. Reeb. 1978), и было связано с переходом к глобальной точке зрения. Этому отчасти способствовала теория гладких динамических систем, где разбиение фазового многообразия (с выкинутыми положениями равновесия) на траектории потока является одномерным слоением. Особое положение, которое в этой теории занимают потоки на поверхностях (теория Пуанкаре – Бендиксона, дифференциальные уравнения на торе, теорема Кнезера), где траектории локально разбивают пространство, способствовало привлечению внимания к слоениям коразмерности $1$. Другой пример слоения, проанализированный в 1940-х гг., – разбиение группы Ли на смежные классы по аналитической подгруппе (не обязательно замкнутой) (см. Шeваллe. 1948). Наконец, в комплексной области решения дифференциального уравнения $dw/dz = f(z,w)$ с аналитической правой частью образуют (с вещественной точки зрения) двумерное слоение.

После первых работ наступил перерыв в развитии теории слоений, которая тогда была ещё бедна значительными результатами. Интенсивное развитие началось с работ А. Хефлигера (Haefliger. 1962) и С. П. Новикова (Новиков. 1965), наиболее известные результаты которых таковы (Тамура. 1979): слоение коразмерности $1$ на трёхмерной сфере имеет компактный слой (Новиков. 1965) и не может быть аналитическим (Haefliger. 1962), хотя ещё Ж. Риб построил слоение класса $C^\infty$. Тогда же при изучении некоторых динамических систем (У-системы и родственные им) возникли некоторые вспомогательные слоения (уже не одномерные, что тоже стимулировало исследование слоений; см. Новиков. 1965; Гладкие динамические системы. 1977). Все эти работы и ряд последующих можно отнести к «геометрическому» или «качественному» направлению (Фукс. 1981). В нём большое внимание уделяется слоениям коразмерности $1$; существованию компактных слоёв; теоремам устойчивости (устанавливающим, что при определённых условиях слоение с компактным слоем устроено в его окрестности или глобально как расслоение; первые такие теоремы доказал ещё Ж. Риб; см. Тамура. 1979); характеристике «роста» слоёв (т. е. зависимости $p$-мерного объёма геодезического шара радиуса $r$ на слое от $r$) или их фундаментальных групп. Отметим также решение вопроса: если на замкнутом $M^n$ имеется $p$-мерное слоение, все слои которого компактны, то обязательно ли ограничен $p$-мерный объём слоёв? Д. Эпстейн (D. Epstein), Д. Салливан (D. Sullivan) и др. выяснили, что ответ положительный только при $q\leqslant 2$ (см. Бессе. 1981).

Позднее возникло «гомотопическое» направление, прообразом которого послужила гомотопическая теория расслоений. Отличия, возникающие для слоений, отчасти связаны с тем, что для слоений, вообще говоря, нет аналога индуцированному расслоению. Это вынуждает перейти от слоений к более общим объектам – структурам Хефлигера (нечто вроде слоения с особенностями), для которых такой аналог имеется.

Слоения $F_0$ и $F_1$ на $M$ называется конкордантными, если на «цилиндре» $M\times[0, 1]$ существует такое слоение (той же коразмерности), слои которого трансверсальны ко «дну» и «крышке» цилиндра и «высекают» на них слоения $F_0$ и $F_1$. Сходным образом определяется конкордантность структур Хефлигера. Всякая структура Хефлигера конкордантна такой, которая вне множества «особых точек» на $M$ соответствует некоторому слоению, причём выполняются определённые условия о поведении слоёв последнего возле этих точек. В этом смысле структуру Хефлигера можно представить себе как слоение с особенностями. Имеется естественное биективное соответствие между классами конкордантных структур Хефлигера и гомотопическими классами непрерывных отображений $M$ в т. н. классифицирующее пространство $B\Gamma_q^r$ ($q$ указывает коразмерность, $r$ – класс гладкости структуры Хефлигера).

Гомотопическая теория устанавливает, какие гомотопические объекты определяют конкордантность слоений: два слоения конкордантны тогда и только тогда, когда они конкордантны как структуры Хефлигера, а их касательные поля гомотопны (см. Haefliger. 1970; Thurston. 1974; 1976). Родственный результат – доказательство существования $p$-мерных слоений на любых открытых $M$ (см. Haefliger. 1970) и на таких замкнутых $M$, на которых существует непрерывное поле $p$-мерных касательных подпространств (что является очевидным необходимым условием существования слоения; см. Thurston. 1974; 1976); ранее различными учёными было доказано существование слоений на ряде многообразий путём непосредственных построений (Lawson. 1974). Идея (см. Thurston. 1974; 1976) состоит в том, чтобы, начав со слоения с особенностями, ликвидировать их путём некоторых модификаций слоения. Случай $q>1$ оказывается более простым (см. Thurston. 1974, Lawson. 1977) и ликвидация особенностей может быть проведена в духе «геометрической» теории (Mишачев. 1977); случай $q= 1$ сложнее (Thurston. 1976).

Отображение $f: M^n \to B\Gamma_q^r$ порождает отображение когомологий, что приводит к характеристическим классам слоений. В возникающую здесь «гомологическую» или «количественную» теорию слоений (см. Lawson. 1977; Фукс. 1978; 1981) включаются и некоторые результаты, полученные ранее без обращения к $B\Gamma_q^r$, например инвариант Годбийона – Вея (для $n=3$ см. Тамура. 1979) или указанные Р. Боттом (R. Bott) условия, необходимые для того, чтобы непрерывное поле касательных подпространств было гомотопно касательному полю слоения.