Спектра́льное разложе́ние случа́йной фу́нкции, 1) разложение случайной функции (в частности, случайного процесса) в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой взаимно некоррелированные случайные величины. Широкий класс спектральных разложений комплекснозначных случайных функций $X(t)$, $t \in T$, с нулевым средним значением [т. е. таких, что $\mathsf{E} X (t)=0$] может быть представлен в виде$$\tag{1}X(t)=\int_{\Lambda} \varphi(t ; \lambda) Z(d \lambda),$$где $\Lambda$ – некоторое множество с заданной системой «измеримых подмножеств» (т. е. измеримое пространство); $\varphi(t ; \lambda)$, $t \in T$, $\lambda \in \Lambda$, – система комплекснозначных функций на $T$, зависящих от параметра $\lambda \in \Lambda ; Z(d \lambda)$ – случайная мера на $\Lambda$ с некоррелированными значениями [так что $\mathsf{E} Z\left(\Delta_1\right) \overline{Z\left(\Delta_2\right)}=0$ для любых двух непересекающихся измеримых подмножеств $\Delta_1$ и $\Delta_2$], а интеграл в правой части (1) можно или определить как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности интегральных сумм Коши (Karhunen. 1947), или же понимать как более общий «интеграл Лебега по мере $Z(d \lambda)$» (о котором см., например, Розанов. 1959). Согласно общей теореме Карунена о спектральном разложении, для существования спектрального разложения (1) случайной функции $X(t)$ необходимо и достаточно, чтобы соответствующая корреляционная функция $B(t, s)=\mathsf{E} X(t) \overline{X(s)}$ допускала представление в виде$$B(t, s)=\int_{\Lambda} \varphi(t ; \lambda) \overline{\varphi(s ; \lambda)} F(d \lambda),$$где $F(d \lambda)=\mathsf{E}|Z(d \lambda)|^2$ – неотрицательная мера на $\Lambda$.

Наиболее известный класс спектральных разложений случайных функций – представления стационарных случайных процессов $X(t)$ в виде интеграла Фурье – Стилтьеса$$\tag{2}X(t)=\int_{\Lambda} e\overline{^{i t \lambda}d Z(\lambda)},$$где $Z(\lambda)$ – случайная функция $\lambda$ с некоррелированными приращениями, а $\Lambda$ – ось $(-\infty, \infty)$ в случае процессов с непрерывным временем $t$ или же интервал $[- \pi, \pi ]$, если время $t$ дискретно (принимает целочисленные значения). Существование такого спектрального разложения следует из общей теоремы Хинчина об интегральном представлении корреляционной функции $B(s)=\mathsf{E} X(t+s) \overline{X(t)}$ (см. статью Стационарный случайный процесс); оно показывает, что любой стационарный случайный процесс можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами. Спектральное разложение аналогичного вида, но с заменой гармонических колебаний $n$-мерными плоскими волнами имеет место и для однородных случайных полей, заданных на евклидовом $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}^n$ или же на решётке $\mathbb{Z}^n$ точек $\mathbb{R}^n$ с целочисленными координатами. В случае обобщённого стационарного случайного процесса – линейного функционала $X(\varphi)$ на пространстве $D$ финитных бесконечно дифференцируемых функций $\varphi(t)$, удовлетворяющего условиям$$\begin{gathered} \mathsf{E} X\left(V_a \varphi\right)=\mathsf{E} X(\varphi), \\ \mathsf{E} X\left(V_a \varphi_1\right) \overline{X\left(V_a \varphi_2\right)}=\mathsf{E} X\left(\varphi_1\right) \overline{X\left(\varphi_2\right)} \end{gathered}$$при всех действительных $a$, где $V_a \varphi(t)=\varphi(t+a)$ – спектральное разложение. Функционал $X(\varphi)$ имеет вид$$\tag{3}X(\varphi)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\varphi}(\lambda) d Z(\lambda),$$где$$\tilde{\varphi}(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i \lambda t} \varphi(t) d t$$– преобразование Фурье функции $\varphi(t)$. Формула (3) следует из того, что$$B\left(\varphi_1, \varphi_2\right)=\mathrm{E} X\left(\varphi_1\right) \overline{X\left(\varphi_2\right)}$$можно представить в виде$$B\left(\varphi_1, \varphi_2\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\varphi}_1(\lambda) \overline{\tilde{\varphi}_2(\lambda)} d F(\lambda),$$где функция $F(\lambda)=\mathsf{E}|Z(\lambda)-Z(-\infty)|^2$ – монотонно неубывающая спектральная функция такая, что$$\int_{-\infty}^{\infty}\left(1+\lambda^2\right)^{-m} d F(\lambda)<\infty$$при некотором неотрицательном целом $m$ (Гельфанд. 1961). Если же в качестве пространства функций $\varphi(t)$ принять некоторое пространство целых аналитических функций, то можно прийти и к обобщённым стационарным случайным процессам $X(\varphi)$ с экспоненциально возрастающей спектральной функцией $F(\lambda)$ (см., например, Onoyama. 1959).

Спектральные разложения специального вида имеют место и для однородных случайных полей на группах $G$ и однородных пространствах $S$; этот факт в силу теоремы Карунена о спектральном разложении следует из ряда имеющихся результатов об общем виде положительно определённых функций (или ядер – функций двух переменных) на множествах $G$ и $S$. В частности, для однородного поля $X(g)$ на произвольной локально компактной коммутативной группе $G$ спектральное разложение поля $X(g)$ имеет вид (1), где роль функций $\varphi(t ; \lambda)$ играют характеры $\chi^{(\lambda)}(g)$ группы $G$, а областью интегрирования $\Lambda$ является соответствующая группа характеров $\widehat{G}$ (например, Яглом. 1963; Xеннан. 1970). Спектральные разложения более сложного вида при широких условиях имеют место и для однородных полей на некоммутативных топологических группах (Яглом. 1963). Наконец, в случае однородных полей на однородных пространствах $S=\{s\}$ спектральное разложение поля $X(s)$ включает сферические функции пространства $S$, а в выражение для корреляционной функции $B\left(s_1, s_2\right)=\mathsf{E} X\left(s_1\right) \overline{X\left(s_2\right)}$ входят соответствующие зональные сферические функции (Яглом. 1963; Хеннан. 1970). В частности, общее однородное поле $X(\theta, \varphi)$ на сфере $S_2$ трёхмерного пространства $\mathbb{R}^3$ допускает спектральное разложение вида$$\tag{4}X(\theta, \varphi)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^l Y_{l, m}(\theta, \varphi) Z_{l, m}$$где$$Y_{l, m}=e^{-i m \varphi} P_l^m(\cos \theta)$$– обычные сферические функции, а случайные величины $Z_{l, m}$ таковы, что $\mathsf{E} Z_{l, m} \bar{Z}_{j, n}=\delta_{l j} \delta_{m n} f_l$, где $\delta_{l j}$ – символ Кронекера. Отвечающее формуле (4) выражение для корреляционной функции$$\mathsf{E} X\left(\theta_1, \varphi_1\right) \overline{X\left(\theta_2, \varphi_2\right)}=B\left(\theta_{12}\right),$$где $\theta_{12}$ – угловое расстояние между точками $\left(\theta_1, \varphi_1\right)$ и $\left(\theta_2, \varphi_2\right)$, имеет вид$$B(\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}[(2 l+1) / 2] f_l P_l(\cos \theta),$$где $P_l$ – многочлены Лежандра. Если же $X(r, \varphi)$, где $(r, \varphi)$ – полярные координаты, – однородное и изотропное поле на плоскости $\mathbb{R}^2$ [так что $\mathsf{E}X\left(r_1, \varphi_1\right) \overline{X\left(r_2, \varphi_2\right)}=B\left(r_{12}\right)$, где $r_{12}$ – евклидово расстояние между точками $\left(r_1, \varphi_1\right)$ и $\left(r_2, \varphi_2\right)$], то спектральное разложение поля $X(r, \varphi)$ записывается в виде$$\tag{5}X(r, \varphi)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i k \varphi} \int_0^{\infty} J_k(\lambda r) d Z_k(\lambda),$$где $J_k(x)$ – функция Бесселя порядка $k$. Здесь $Z_k(\lambda)$ – случайные функции с некоррелированными приращениями такие, что$$\mathsf{E} Z_k\left(\Delta_1\right) \overline{Z_m\left(\Delta_2\right)}=\delta_{k m} F\left(\Delta_1 \cap \Delta_2\right),$$где$$Z_k(\Delta)=\int_{\Delta} d Z_k(\lambda),$$a $F(\Delta)$ – неотрицательная мера на полуоси $[0, \infty)$. Спектральному разложению (5) отвечает следующее выражение для корреляционной функции $B(r)$:$$B(r)=\int_0^{\infty} J_0(\lambda r) d r(\lambda)$$(дальнейшие примеры спектральных разложений однородных полей см. в: Яглом. 1963; Xеннан. 1970; Ядренко. 1980).

Спектральные разложения случайных функций существуют не только для стационарных случайных процессов и однородных случайных полей. Так, например, если $X(t)$ – произвольный случайный процесс на интервале $a \leqslant t \leqslant b$ с непрерывной по обоим аргументам корреляционной функцией$$B(t, s)=\mathsf{E} X(t) \overline{X(s)},$$то в силу теоремы Мерсера теории интегральных уравнений и теоремы Карунена о спектральном разложении процесс $X(t)$ будет допускать спектральное разложение вида$$\tag{6}X(t)=\sum_{k=1}^{\infty} \varphi_k(t) Z_k / \sqrt{\lambda_k},$$где $\varphi_k(t)$, $k=1,2, \ldots$, и $\lambda_k$, $k=1,2, \ldots$, – собственные функции и собственные значения интегрального оператора в функциональном пространстве с ядром $B(t, s)$, а $\mathsf{E} Z_k \bar{Z}_j=\delta_{k j}$. Спектральное разложение (6) случайного процесса $X(t)$, заданного на конечном интервале, представляет собой континуальный аналог разложения случайного вектора на его главные компоненты, часто используемого в многомерном статистическом анализе; оно было независимо получено целым рядом учёных (об этом см., например, Яглом. 1963) и чаще всего называется разложением Кaрунена – Лоэва. Подобного рода спектральные разложения широко используются также во многих приложениях, в частности в теории автоматического управления, где разложение (6) (и некоторые родственные ему разложения) часто называются каноническими представлениями случайных процессов (Пугачёв. 1962), и в геофизике, где обычно используется термин «метод эмпирических ортогональных функций», т. к. собственные функции $\varphi_k(t)$ здесь сами приближённо определяются по эмпирическим данным (Фортус. 1980).

2) Под спектральным разложением случайной функции $X(t)$, $t \in T$, иногда понимают также общее разложение вида (1) по некоторой стандартной (достаточно простой) полной системе функций $\varphi(t ; \lambda)$. Особенно часто такое спектральное разложение рассматривается в применении к случайному процессу $X(t)$ с непрерывным временем и функциям $\varphi(t ; \lambda)=e^{i t \lambda}$, так что равенство (1) обращается в (2). Из (2) следует, что $B(t, s)=\mathsf{E} X(t) \overline{X(s)}$ допускает представление в виде$$\tag{7}B(t, s)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\lambda t-\mu s)}F(d \lambda \times d \mu),$$где $F(d \lambda \times d \mu)$ – комплекснозначная мера на плоскости $(\lambda, \mu)$, задаваемая соотношением$$F\left(\Delta_1, \Delta_2\right)=\mathrm{E} Z\left(\Delta_1\right) \overline{Z\left(\Delta_2\right)}$$обратно, из представимости $B(t, s)$ в виде (7) следует и существование спектрального разложения (2) (например, Розанов. 1959). Случайные процессы, допускающие спектральное разложение (2), где Z$(\lambda)$ не обязательно имеет некоррелированные приращения, называются гармонизуемыми случайными процессами; комплексная мера $F(d \lambda \times d \mu)$ в таком случае называется спектральной мерой $X(t)$, а совокупность точек плоскости $(\lambda, \mu)$, не имеющих окрестности нулевой спектральной меры, называется спектром процесса $X(t)$. Спектр стационарного процесса $X(t)$ сосредоточен на прямой $\lambda=\mu$. Гармонизуемыми при широких условиях будут и периодически-коррелированные (иначе, периодически-нестационарные) случайные процессы $X(t)$, обладающие тем свойством, что$$\begin{gathered} \mathsf{E} X(t+m T)=\mathsf{E} X(t), \\ \mathsf{E} X(t+m T) \overline{X(s+m T)}=\mathsf{E} X(t) \overline{X(s)} \end{gathered}$$при некотором $T>0$ и произвольном целом $m$; спектр таких процессов сосредоточен на совокупности прямых $\lambda=\mu+2 \pi k / T$, $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ (например, Рытов. 1976).