Корреляцио́нная фу́нкция действи́тельного случа́йного проце́сса $\{X(t);t \in T\}$, функция аргументов $t$, $s \in T$, определяемая равенством

$$B(t, s)=\mathsf{E}[X(t)-\mathsf{E} X(t)][X(s)-\mathsf{E} X(s)] .$$Здесь функция $\mathsf{E}X(t)$ – математическое ожидание случайного процесса $X(t)$. Для того чтобы корреляционная функция была определена, следует предположить, что процесс $X(t)$ при всех $t \in T$ имеет конечный второй момент $\mathsf{E}X(t)^2$. Параметр $t$ пробегает здесь некоторое подмножество $T$ действительной прямой и обычно интерпретируется как «время», однако совершенно аналогично определяется корреляционная функция случайной функции, заданной на множестве произвольной природы, в частности корреляционная функция случайного поля, когда $T$ – подмножество конечномерного пространства.

Если $X(t)=\left[X_1(t), \ldots, X_n(t) \right]$ – многомерный случайный процесс (многомерная случайная функция), то его корреляционной функцией называется матричнозначная функция

$$B(t, s)=\left\|B_{i j}(t, s)\right\|_{i, j=1}^n,$$где

$$B_{i j}(t, s)=\mathsf{E}\left[X_i(t)-\mathsf{E} X_i(t)\right]\left[X_j(s)-\mathsf{E} X_j(s)\right]$$– взаимная корреляционная функция процессов $X_i(t)$, $X_j(t)$.

Корреляционная функция является важной характеристикой случайного процесса. Если $X(t)$ – гауссовский процесс, то его среднее значение $\mathsf{E} X(t)$ и корреляционная функция $B(t, s)$ (первый и второй моменты) однозначно определяют конечномерные распределения, а значит и процесс в целом. В общем случае первых двух моментов заведомо недостаточно для полного описания случайного процесса. Например, одинаковую корреляционную функцию $B(t, s)=e^{-a|t-s|}$ имеют гауссовский марковский стационарный процесс, траектории которого непрерывны, и телеграфный сигнал – точечный марковский стационарный процесс, принимающий два значения $\pm 1$. Однако корреляционная функция определяет ряд важных свойств процесса: свойства второго порядка (т. е. выражающиеся в терминах вторых моментов). В силу этого, а также благодаря своей относительной простоте, корреляционные методы широко используются как в теории случайных процессов, так и в её статистических приложениях (коррелограмма).

Скорость и характер убывания корреляций при $|t-s| \rightarrow \infty$ дают представление об эргодических свойствах процесса. Условия на скорость убывания корреляций в той или иной форме присутствуют в предельных теоремах для случайных процессов. Локальные свойства второго порядка, такие как среднеквадратичные непрерывность, дифференцируемость, дают полезную, хотя и весьма грубую характеристику локального поведения процесса. Исследование свойств траекторий в терминах корреляционных функций с большой полнотой проведено в гауссовском случае (выборочная функция). Одним из наиболее завершённых разделов теории случайных процессов является теория линейной экстраполяции и фильтрации, позволяющая находить оптимальные линейные алгоритмы прогноза и аппроксимации случайных процессов, основываясь на знании корреляционных функций.

Характеристическим свойством корреляционной функции является положительная определённость:

$$\sum_{i, j=1}^n c_i \overline{c}_j B\left(t_i, t_j\right) \geqslant 0$$для любого $n$, любых комплексных $c_i, \ldots, c_n$ и любых $t_1, \ldots, t_n \in T$. В наиболее важном случае стационарного в широком смысле процесса $B(t, s)$ зависит от разности аргументов: $B(t, s)=R(t-s)$. Условие положительной определённости принимает тогда вид

$$\sum_{i, j=1}^n c_i \overline{c}_j R\left(t_i-t_j\right) \geqslant 0.$$Если $R(t)$ дополнительно непрерывна при $t=0$ (что соответствует среднеквадратичной непрерывности процесса $X(t)$), то

$$R(t)=\int e^{i t \lambda} F(d \lambda),$$где $F(d \lambda)$ – положительная конечная мера; здесь $\lambda$ пробегает всю действительную прямую, если $T=(-\infty, \infty)$ (случай «непрерывного времени»), или отрезок $[-\pi, \pi]$, если $T=\{\ldots,-1,0,1, \ldots\}$ (случай «дискретного времени»). Мера $F(d \lambda)$ называется спектральной мерой случайного процесса. Таким образом, корреляционные и спектральные свойства стационарного случайного процесса оказываются тесно связанными; например, скорость убывания корреляций при $t \rightarrow \infty$ соответствует степени гладкости спектральной плотности $f(\lambda)=F(d \lambda) / d \lambda$.

В статистической механике корреляционной функцией называется также совместная плотность вероятности $\rho\left(x_1, \ldots, x_m\right)$ нахождения $m$ различных частиц рассматриваемой системы в точках $x_1, \ldots, x_m$; совокупность этих функций однозначно определяет соответствующее точечное случайное поле.