Теоре́ма Кне́зера об одномерных слоениях без особенностей на замкнутых поверхностях рода нуль, теорема, устанавливающая свойства такого слоения в зависимости от наличия или отсутствия у него замкнутых слоёв и описывающая поведение незамкнутых слоёв в областях, ограничиваемых замкнутыми слоями. Теорема Кнезера принадлежит X. Кнезеру [говорившему не о слоениях, а о «регулярных семействах кривых на поверхности» (Kneser. 1924); модернизированное изложение основных аспектов теоремы Кнезера см. в Reinhart. 1959; Aepply. 1963]. Чаще всего теорема Кнезера упоминается в связи с траекториями потока без положений равновесия на торе или поверхности Клейна: эти траектории образуют слоение рассматриваемого в теореме Кнезера типа.

Одномерное слоение (без особенностей) на поверхности – это целиком заполняющее последнюю семейство непересекающихся кривых («слоёв»), причём у каждой точки имеется такая координатная окрестность $U$, что в терминах соответствующих локальных координат $x_1, x_2$ слоение локально выглядит как семейство прямых $x_2=\mathrm{const}$ (точнее, такое уравнение имеют связные компоненты пересечений слоёв с $U$). Слоение называется ориентируемым, если можно так определить некоторое «положительное» направление на каждом его слое (ориентировать слои), чтобы для различных слоёв эти направления были согласованы – при непрерывном переходе от слоя к слою положительное направление нигде не менялось скачком. Ориентируемы те и только те слоения, которые состоят из траекторий некоторых потоков без положений равновесия.Рис. 1.Рис. 1.

Пусть на поверхности $M$ задано поле направлений (поле линейных элементов) – каждой точке $x\in M$ сопоставлено одномерное подпространство $l(x)$ касательной плоскости $T_xM$ в этой точке [если $M$ лежит в евклидовом пространстве, то $l(x)$ представляется прямой, касающейся $M$ в точке $x$, см. рис. 1]. Если $l(x)$ гладко зависит от $x$, то интегральные кривые этого поля направлений образуют одномерное слоение, которое может и не быть ориентируемым.

Рис. 2.Рис. 2.Рис 3.Рис 3.Основное содержание теоремы Кнезера относится к тому случаю, когда у слоения имеются как замкнутые, так и незамкнутые слои. Утверждается, что последние заполняют области, ограниченные первыми, причём эти области могут быть трёх типов – см. рис. 2, где подразумевается, что у каждого прямоугольника а, б и в надо верхнюю сторону склеить с нижней, причём $A$ склеивается с $A'$, а $B$ – с $B'$; например, из а при этом получается «кольцо Кнезера», см. рис. 3. Если на поверхности имеется только один замкнутый слой, то у прямоугольника надо дополнительно склеить ещё левую и правую стороны.

Незамкнутый слой, лежащий в одной из этих областей, при неограниченном продолжении в одну сторону навивается на замкнутый слой, ограничивающий данную область, или на один из двух ограничивающих её замкнутых слоёв. При продолжении в другую сторону незамкнутый слой навивается, соответственно, на тот же замкнутый слой (но с другой стороны) или на второй из упомянутых замкнутых слоёв.

Областей типа а и б может быть лишь конечное число, причём неориентируемая область типа б возможна только на поверхности Клейна и только для неориентируемого слоения, областей типа в – конечное или счётное число.

X. Кнезер доказал также, что тот случай, когда у слоения нет замкнутых слоёв, возможен только для ориентируемого слоения на торе, и что в этом случае имеется замкнутая линия $L$, трансверсальная к слоению и пересекающая все слои. (В общем случае, когда не предполагается, что слои гладкие и что слоение задаётся некоторым полем направлений, трансверсальность понимается в том смысле, что у каждой точки линии $L$ имеется координатная окрестность, в которой слои задаются уравнением $x_2=\mathrm{const}$, a $L$ – уравнением $x_1=0$.) См. об этом также в ст. Дифференциальные уравнения на торе.