Подмногообра́зие, 1) в узком смысле слова топологическое $n$–мерное подмногообразие топологического $m$-мерного многообразия $M$ – такое подмножество $N\subset M$, которое в индуцированной топологии является $n$-мерным многообразием. Число $m-n$ называется коразмерностью подмногообразия $N$. Наиболее часто встречаются локально плоские подмногообразия, для которых тождественное вложение $i: N\to M$ является локально плоским вложением. Подмножество $N\subset M$ является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки $p\in N$ имеются такая окрестность $U$ этой точки в $M$ и такие локальные координаты $x_1,\ldots,x_m$ в ней, что в терминах этих координат $N\cap U$ описывается уравнениями $x_{n+1}=\ldots=x_m=0$.

2) В широком смысле слова топологическое $n$-мерное подмногообразие топологического $m$-мерного многообразия $M$ – такое $n$-мерное многообразие $N$, которое как множество точек является подмножеством $M$ (иными словами, $N$ – это подмножество $M$, снабжённое структурой $n$-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение $i : N\to M$ является погружением. Подмногообразие в узком смысле является подмногообразием в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда $i$ есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки $p\in N$ имеется сколь угодно малые окрестности в $N$, являющиеся пересечениями с $N$ некоторых окрестностей в $M$).

3) Кусочно-линейное, аналитическое или дифференцируемое (класса $C^l$, $l\leqslant\infty$) подмногообразие кусочно-линейного, аналитического или дифференцируемого (класса $C^k$, $l\leqslant k\leqslant\infty$) многообразия $M$ в широком смысле (соответственно узком) – это подмножество $N\subset M$, которое снабжено структурой кусочно-линейного, аналитического или дифференцируемого (класса $C^l$) многообразия, причём $i$ является кусочно-линейным, аналитическим или дифференцируемым (класса $C^l$) погружением (соответственно вложением). Определение дифференцируемого подмногообразия класса $C^l$ годится и при $l=0$, совпадая в этом случае с определением топологического подмногообразия. Обычно подразумевается, что $l\geqslant 1$.

В аналитическом и дифференцируемом случаях подмногообразие всегда является локально плоским. Поэтому определение аналитического (дифференцируемого) подмногообразия в узком смысле обычно с самого начала формулируется как аналитический (дифференцируемый) вариант данного в 1) определении локально плоского подмногообразия с помощью локальных координат, добавляя к сказанному там условию, чтобы локальные координаты $x_1, \ldots ,x_m$ были аналитическими (дифференцируемыми класса $C^l$). Если подмножество $N$ удовлетворяет последнему определению, то оно естественным образом снабжается структурой аналитического (дифференцируемого класса $C^l$) многообразия и $i$ оказывается вложением в смысле соответствующей структуры.

Кусочно-линейное подмногообразие в узком смысле локально представляется как подполиэдр объемлющего многообразия, кусочно-линейно эквивалентный симплексу. Оно не всегда является локально плоским (хотя это так при $m-n>2$); кроме того, для таких подмногообразий свойство быть локально плоским в топологическом смысле не совпадает (по крайней мере непосредственно) со свойством быть локально плоским в кусочно-линейном смысле.

4) Простой модификацией этих определений получаются определения: подмногообразия с краем; подмногообразия многообразия с краем [при этом в ряде топологических вопросов оказывается целесообразным ограничить возможные расположения подмногообразия у края объемлющего многообразия, (см. Рохлин. 1977)]; подмногообразия, различные компоненты которого могут иметь различную размерность; подмногообразия бесконечномерного многообразия (Ленг. 1967); комплексно аналитического подмногообразия комплексно аналитического многообразия.

Понятие подмногообразия в узком смысле является непосредственным обобщением понятия кривой и поверхности. Подмногообразия в широком смысле используются в теории групп Ли [где это понятие и было впервые введено (Шевалле. 1948)], дифференциальной геометрии (Стернберг. 1970) и теории слоений.

5) В алгебраической геометрии подмногообразие – замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зариского. Этим формализуется идея, что подмногообразие задаётся алгебраическими уравнениями. Помимо перехода от $\R$ к другим полям, изменение понятия «подмногообразие» в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.