Си́льно непреры́вная полугру́ппа, семейство линейных ограниченных операторов $T(t)$, $t>0$, в банаховом пространстве $X$, обладающее свойствами:

1) $T(t+\tau) x=T(t) T(\tau) x, t,\quad \tau>0, x \in X$;

2) функции $T(t) x$ непрерывны на $(0, \infty)$ при любом $x \in X$.

При выполнении 1) из измеримости всех функций $T(t) x$, $x \in X$, и, в частности, из односторонней (справа или слева) слабой непрерывности следует сильная непрерывность $T(t)$. Для сильно непрерывной полугруппы конечное число

$$\omega=\inf _{t>0} t^{-1} \ln \|T(t)\|=\lim _{t \rightarrow \infty} t^{-1} \ln \|T(t)\|$$называется типом полугруппы. Таким образом, нормы всех функций $T(t) x$ растут на $\infty$ не быстрее экспоненты $e^{\omega t}$. Классификация сильно непрерывных полугрупп основана на их поведении при $t \rightarrow 0$. Если существует такой ограниченный оператор $J$, что $\|T(t)-J\| \rightarrow 0$ при $t \rightarrow 0$, то $J$ – проекционный оператор и $T(t)=J e^{t A}$, где $A$ – ограниченный линейный оператор, коммутирующий с $J$. В этом случае $T(t)$ непрерывна по норме операторов. Если $J=I$, то $T(t)=e^{t A}$, $-\infty<t<\infty$, – равномерно непрерывная группа операторов.

Если $T(t) x \rightarrow J x$ при каждом $x \in X$, то $J$ – также проекционный оператор, проектирующий $X$ на подпространство $X_0$ – замыкание объединения всех значений $T(t) x$, $t>0$, $x \in X$.

Для того чтобы $J$ существовал и равнялся $I$, необходимо и достаточно, чтобы $\|T(t)\|$ была ограничена на $(0,1)$ и чтобы $X_0=X$. В этом случае полугруппа $T(t)$, доопределённая равенством $T(0)=I$, сильно непрерывна при $t \geqslant 0$ (удовлетворяет $C_0$-условию). Для более широких классов полугрупп предельное соотношение $T(t) \rightarrow I$ выполняется в обобщённом смысле:

$$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \int_0^t T(\tau) x d \tau=x,\quad x \in X$$(суммируемость по Чезаро, $C_1$-условие), или

$$\lim _{\lambda \rightarrow \infty} \lambda \int_0^{\infty} e^{-\lambda \tau T}(\tau) x d \tau=x,\quad x \in X$$(суммируемость по Абелю, $A$-условие). При этом предполагается, что функции $\|T(t) x\|$, $x \in X$, интегрируемы на $[0,1]$ (а значит, и на любом конечном отpeзкe).

Поведение сильно непрерывной полугруппы при $t \rightarrow 0$ может быть совсем нерегулярным. Например, функции $\|T(t) x\|$ могут иметь при $t=0$ степенную особенность.

Для плотного в $X_0$ множества элементов $x$ функции $T(t) x$ дифференцируемы на $[0, \infty)$. Важную роль играют сильно непрерывные группы, для которых функции $T(t) x$ дифференцируемы при всех $x$ для $t>0$. В этом случаe оператор $T^{\prime}(t)$ ограничен при каждом $t$ и его поведение при $t \rightarrow 0$ даёт новые возможности для классификации полугрупп. Выделены классы сильно непрерывных полугрупп, для которых $T(t)$ допускает голоморфное продолжение в сектор комплексной плоскости, содержащий полуось $(0, \infty)$.

См. в статьях Полугруппа операторов, Производящий оператор полугруппы.