Производя́щий опера́тор полугру́ппы, производная в нуле от полугруппы линейных ограниченных операторов $T(t)$, $0<t<\infty$, действующих в комплексном банаховом пространстве $X$. Если $T(t)$ непрерывна по норме операторов, то она имеет вид $T(t)= e^{t A_0}$, где $A_0$ – ограниченный оператор,

$$\lim _{t \rightarrow 0} t^{-1}[T(t) x-x]=A_0 x \tag{1}$$при любом $x \in X$ и $A_0$ есть производящий оператор $T(t)$. Обратно, если предел слева существует при всех $x \in X$, то $T(t)=e^t A$.

Более сложная картина возникает, когда $T(t)$ только сильно непрерывная полугруппа. В этом случае предел (1) существует не при всех $x$. Оператор $A_0$, определённый на линейном множестве $D\left(A_0\right)$ всех тех $x$, для которых предел существует, является линейным неограниченным оператором и называется инфинитезимальным оператором. В частности, $A_0$ определён на всех элементах вида $\int_\alpha^\beta T(t) y \,d t$, $\alpha, \beta>0$, $y \in X$. Если обозначить через $X_0$ замыкание объединения областей значений всех операторов $T(t)$, $t>0$, то $D\left(A_0\right)$ плотно в $X_0$ и, более того, $\bigcap_n D\left(A_0^n\right)$ плотно в $X_0$. Все значения оператора $A_0$ также лежат в $X_0$. Если оператор $A_0$ неограничен, то $D\left(A_0\right)$ является множеством первой категории в $X_0$.

Если в $X_0$ нет элементов $x$, на которых $T(t) x \equiv 0$, то оператор $A_0$ допускает замыкание $A=\bar{A}_0$, которое и называется производящим оператором полугруппы $T(t)$. В этом случае при $x \in D(A)$

$$\begin{gathered} T(t) x-T(s) x=\int_s^t T(\tau) A x \,d \tau, \\ \frac{d T(t) x}{d t}=A_0 T(t) x=T(t) A x . \end{gathered} \tag{2}$$Равенство (2) определяет замкнутый оператор $A$, который, вообще говоря, шире, чем замыкание $A_0$. Его иногда называют обобщённым производящим оператором полугруппы $T(t)$.

На множестве $D_R$ тех же $x \in X$, для которых сходится несобственный интеграл

$$\int_0^t T(s) x\, d s \tag{3}$$определён оператор

$$R(\lambda) x=\lim _{t \rightarrow 0} \int_t^{\infty} e^{-\lambda s} T(s) x\, d s$$при $\operatorname{Re} \lambda>\omega$, где $\omega$ – тип полугруппы $T(t)$. Этот оператор обладает свойствами:

1) $R(\lambda) D_R \subset D_R$;

2) $R(\lambda) x-R(\mu) x=(\mu-\lambda) R(\lambda) R(\mu) x$;

3) $R(\lambda)\left(\lambda I-A_0\right) x=x$, $x \in D\left(A_0\right)$;

4) $(\lambda I-A) R(\lambda) x=x$, $x \in D_R \cap X_0$.

Если интеграл (3) абсолютно сходится при любом $x \in X$, то производящий оператор $A$ существует тогда и только тогда, когда из $T(t) x=0$, $x \in X_0$, следует $x=0$; оператор $R(\lambda)$ ограничен, и, если $X_0=X$, он совпадает с резольвентой оператора $A$; для того чтобы $A_0$ был замкнутым $\left(A=A_0\right)$, необходимо и достаточно, чтобы

$$\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \int_0^t T(s) x \,d s=x$$при любом $x \in X_0$.

Основной задачей теории полугрупп операторов является установление связи между свойствами полугрупп и свойствами их производящих операторов, причём последние обычно формулируются в терминах операторов $R(\lambda)$.