Проекти́вная ме́трика, метрика $\rho(x, y)$ в подмножестве $R$ проективного пространства $P^n$ такая, что кратчайшая относительно этой метрики является частью или всей проективной прямой. При этом полагают, что $R$ не принадлежит ни одной гиперплоскости и что 1) для любых трёх неколлинеарных точек $x, y, z$ неравенство треугольника выполняется в строгом смысле

$$\rho(x, y)+\rho(y, z)>\rho(x, z) ;$$2) если $x, y$ – различные точки из $R$, то пересечение $l(x, y)$ прямой $l$, проходящей через $x$ и $y$, с $R$ есть либо вся $l$ (большой круг), либо получается из $l$ удалением некоторого отрезка (могущего сводиться и к одной точке) (метрическая прямая).

Множества $R$, наделённые проективной метрикой, называются проективно метрическими пространствами.

В одном и том же проективно метрическом пространстве не могут одновременно существовать оба типа линий: либо все они – метрические прямые (т. е. изометричны отрезку из $\mathbb{R}^1$), либо же все они – большие круги одинаковой длины (теорема Гамеля). Пространства первого типа называются открытыми (они совпадают с подмножествами аффинного пространства, т. е. с $P^n$, из которого удалена некоторая гиперплоскость); геометрия открытых проективно метрических пространств называется также геометрией Гильберта. Пространства второго типа называются замкнутыми (они совпадают со всем $P^n$).

Проблема определения всех проективных метрик – это т. н. 4-я проблема Гильберта (Проблемы Гильберта. 1960), полное её решение дано А. В. Погореловым (1974).

С проективной метрикой связано, как частный её случай, т. н. проективное мероопределение – введение в подмножества проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при которой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому и эллиптическому пространствам. Так, геометрия открытых проективно метрических пространств, подлежащее множество которых совпадает со всем аффинным пространством, называется геометрией Минковского. Евклидова геометрия – это одновременно геометрия Гильберта и геометрия Минковского.

Гиперболическая геометрия – геометрия Гильберта, в которой существуют отражения от всех прямых. Для этого необходимо и достаточно, чтобы $R$ было внутренностью эллипсоида.

Эллиптическая геометрия (или геометрия Римана) – геометрия проективно метрических пространств второго типа.