Представле́ние а́лгебры Ли в ве́кторном простра́нстве $V$, гомоморфизм $\rho$ алгебры Ли $L$ над полем $k$ в алгебру Ли $\mathfrak{g l}(V)$ всех линейных преобразований пространства $V$ над $k$. Два представления $\rho_1: L \rightarrow \mathfrak{gl}\left(V_1\right)$ и $\rho_2: L \rightarrow \mathfrak{gl}\left(V_2\right)$ называются эквивалентными (или изоморфными), если существует изоморфизм $\alpha: V_1 \rightarrow V_2$, для которого

$$\alpha\left(\rho_1(l) v_1\right)=\rho_2(l) \alpha\left(v_1\right)$$при любых $l \in L$, $v_1 \in V_1$. Представление $\rho$ в $V$ называется конечномерным, если $\operatorname{dim} V<\infty$, и неприводимым, если в $V$ не существует отличных от нуля и всего пространства подпространств, инвариантных относительно всех операторов $\rho(l)$, $l \in L$.

При заданных представлениях $\rho_1: L \rightarrow \mathfrak{g l}\left(V_1\right)$ и $\rho_2: L \rightarrow \mathfrak{gl}\left(V_2\right)$ можно построить представления $\rho_1\oplus \rho_2$ (прямая сумма) и $\rho_1 \otimes \rho_2$ (тензорное произведение) алгебры $L$ в пространствах $V_1 \oplus V_2$ и $V_1 \otimes V_2$, полагая

$$\left(\rho_1 \oplus \rho_2\right)(l)\left(v_1, v_2\right)=\left(\rho_1(l) v_1, \rho_2(l) v_2\right) \text {, } \\ \left(\rho_1 \otimes \rho_2\right)(l) v_1 \otimes v_2=\rho_1(l) v_1 \otimes v_2+v_1 \otimes \rho_2(l) v_2$$для $v_1 \in V_1$, $v_2 \in V_2$, $l \in L$. Если $\rho$ – представление алгебры Ли $L$ в пространстве $V$, то формула

$$<\rho^*(l) u, v>=-<u, \rho(l) v>$$определяет представление $\rho^*$ алгебры $L$ на сопряжённом к $V$ пространстве, называемом контраградиентным по отношению к $\rho$.

Каждое представление алгебры Ли $L$ однозначно продолжается до представления универсальной обёртывающей алгебры $U(L)$; тем самым устанавливается изоморфизм категории представления алгебры Ли $L$ и категории модулей над $U(L)$. В частности, представлению $\rho$ алгебры $L$ соответствует идеал $\operatorname{ker} \tilde{\rho}$ в $U(L)$ – ядро его продолжения $\rho$. Если представление $\rho$ неприводимо, то идеал $\operatorname{ker}\tilde{\rho}$ примитивен. Обратно, всякий примитивный идеал в $U(L)$ строится таким способом по некоторому (вообще говоря, не единственному) неприводимому представлению $\rho$ алгебры $L$. Изучение пространства примитивных идеалов $\operatorname{Prim} U(L)$, снабжённого топологией Джекобсона, является существенной частью теории представления алгебры Ли. Оно проведено полностью в случае, когда $L$ – конечномерная разрешимая алгебра Ли, а $k$ – алгебраически замкнутое поле характеристики нуль (Диксмье. 1978).

Наиболее полно изучены конечномерные представления конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль. В случае полей $\mathbb{C}$ и $\mathbb{R}$ эти представления находятся во взаимно однозначном соответствии с аналитическими конечномерными представлениями соответствующих односвязных (комплексных или вещественных) групп Ли. В этой ситуации любое представление разрешимой алгебры Ли содержит одномерное инвариантное подпространство (см. в статье Теорема Ли о разрешимых алгебрах Ли). Любое представление полупростой алгебры Ли вполне приводимо, то есть изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. Неприводимые представления полупростой алгебры Ли $L$ полностью классифицированы: классы изоморфных представлений взаимно однозначно соответствуют доминантным весам, то есть весам с неотрицательными числовыми отметками, из сопряжённого пространства $H^*$ к подалгебре Картана $H$ алгебры $L$ (см. в статье Теорема Картана о старшем векторе). Об описании строения неприводимого представления по соответствующему ему доминантному весу (его старшему весу) см. в статьях Кратность веса, Формула характеров.

Произвольный (не являющийся, вообще говоря, доминантным весом) элемент $\lambda \in H^*$ также определяет некоторое неприводимое линейное представление полупростой алгебры Ли $L$ со старшим весом $\lambda$, являющееся, однако, бесконечномерным (см. в статье Представление со старшим вектором). Соответствующие $U(L)$-модули называются модулями Верма (Диксмье. 1978). Полной классификации неприводимых бесконечномерных представлений полупростых алгебр Ли пока не получено.

Если $k$ – алгебраически замкнутое поле характеристики $p>0$, то неприводимые представления конечномерной алгебры Ли $L$ всегда конечномерны и их размерность ограничена константой, зависящей от $n=\operatorname{dim} L$. Если алгебра $L$ имеет $p$-структуру, то эта константа есть $p^{(n-r) / 2}$, где $r$ – минимальная возможная размерность аннулятора линейной формы на $L$ в коприсоединённом представлении (Мильнер. 1980). Для описания множества неприводимых представлений в этом случае применяется следующая конструкция. Пусть $Z(L)$ – центр алгебры $U(L)$ и $M_L$ – аффинное алгебраическое многообразие (размерность $\operatorname{dim} M_L=n$), алгебра регулярных функций на котором совпадает с $Z(L)$ (многообразие Цассенхауза). Отображение $\rho \mapsto \operatorname{ker}(\tilde{\rho} / Z(L))$ позволяет сопоставить каждому неприводимому представлению точку многообразия Цассенхауза. Получаемое отображение сюръективно, прообраз любой точки из $M_L$ конечен, а для точек открытого всюду плотного подмножества этот прообраз состоит из одного элемента (Zassenhaus. 1954). Полное описание всех неприводимых представлений имеется для нильпотентных алгебр Ли (Вейсфeйлep. 1971) и некоторых отдельных примеров (Jantzen. 1974; Рудаков. 1970). Получены также разнообразные результаты относительно специальных типов представлений.