Представле́ние со ста́ршим ве́ктором, линейное представление $\rho$ конечномерной полупростой расщепляемой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ над полем $k$ характеристики нуль с расщепляющей подалгеброй Картана $\mathfrak{t}$, удовлетворяющее следующим условиям.

1) В пространстве $V$ представления $\rho$ существует циклический вектор $v$ (т. е. $V$ – наименьшее $\mathfrak{g}$-инвариантное подпространство, содержащее $v$).

2) $\rho(h)(v)=\lambda(h) v$ для всех $h \in \mathfrak{t}$, где $\lambda$ – некоторая фиксированная линейная форма на $\mathfrak{t}$ со значениями в $k$.

3) Если $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ – система простых корней, определённая некоторым лексикографическим упорядочением множества $\Delta$ всех корней алгебры $\mathfrak{g}$ относительно $\mathfrak{t}$ (см. статью Корневая система), а $e_{\alpha_i}$, $\mathfrak{t}_{\alpha_i}$, $h_{\alpha_i}$ – соответствующие корню $\alpha_i$ векторы из базиса Шевалле алгебры $\mathfrak{g}$, $i=1, \ldots, r$, то $\rho\left(e_{\alpha_i}\right)(v)=0$ для всех $i=1, \ldots, r$. Таким образом, $\lambda$ является весом относительно сужения $\rho$ на $\mathfrak{t}$ (см. статью Вес представления); он называется старшим весом. Пространство $V$ называется циклическим $\mathfrak{g}$-модулем со старшим весом $\lambda$ и образующей $v$, а $v$ называется старшим вектором.

Для всякой линейной формы $\lambda$ на $\mathfrak{t}$ существует единственное с точностью до эквивалентности неприводимое представление $\rho_\lambda$ алгебры $\mathfrak{g}$ со старшим весом $\lambda$. $\mathfrak{g}$-модуль $V(\lambda)$, определяемый $\rho \lambda$, является прямой суммой весовых подпространств относительно сужения $\rho_\lambda$ на $\mathfrak{t}$. Их веса имеют вид$$\lambda-\sum_{i=1}^r n_i \alpha_i,$$где $n_i$ – целые неотрицательные числа. Весовое подпространство $V_\mu(\lambda)$ веса $\mu$ конечномерно, натягивается над $k$ на векторы вида$$\left(\rho_\lambda\left(f_{\alpha_{i_1}}\right) \rho_\lambda\left(f_{\alpha_{i_s}}\right) \cdots \rho_\lambda\left(f_{\alpha_{i_s}}\right)\right)(v),$$и для любого $h \in \mathfrak{t}$ ограничение $\rho_\lambda(h)$ на $V_\mu(\lambda)$ является скалярным оператором умножения на $\mu(h)$. Пространство $V_\lambda(\lambda)$ одномерно; вес $\lambda$ является единственным старшим весом представления $\rho_\lambda$ и может быть охарактеризован как единственный вес $\mathfrak{t}$-модуля $V(\lambda)$ – такой, что любой другой вес имеет вид$$\lambda-\sum_{i=1}^r n_i \alpha_i,$$где $n_i$ – целые неотрицательные числа.

Представление $\rho_\lambda$ конечномерно тогда и только тогда, когда $\lambda$ – доминантная линейная форма на $t$, т. е. $\lambda\left(h_{\alpha_i}\right)$ – целое неотрицательное число для всех $i=1, \ldots, r$. Всякое неприводимое конечномерное линейное представление алгебры $\mathfrak{g}$ имеет вид $\rho \lambda$ для некоторой доминантной линейной формы $\lambda$ на $\mathfrak{t}$ (так что все такие представления классифицируются с точностью до эквивалентности доминантными линейными формами на $\mathfrak{t}$). Множество всех весов конечномерного представления $\rho_\lambda$ относительно $\mathfrak{t}$ инвариантно относительно группы Вейля алгебры $\mathfrak{g}$ (pacсматриваемой как группа линейных преобразований пространства $\mathfrak{t}$), и если веса $\mu$ и $\gamma$ лежат в одной орбите группы Вейля, то размерности пространств $V_\mu(\lambda)$ и $V_\nu(\lambda)$ совпадают. Для всякого веса $\mu$ и всякого корня $\alpha \in \Delta$ число $\mu\left(h_\alpha\right)$ – целое; если при этом $\mu+\alpha$ – тоже вес, то$$\rho\left(e_\alpha\right)\left(V_\mu(\lambda)\right) \neq 0$$(здесь $h_\alpha$ – элемент из $\mathfrak{t}$, соответствующий $\alpha$, а $e_\alpha$ – корневой вектор корня $\alpha$).