Положи́тельное расслое́ние, обобщение понятия дивизора положительной степени на римановой поверхности. Голоморфное векторное расслоение $E$ над комплексным пространством $X$ называется положительным (обозначается $E>0$), если в $E$ существует такая эрмитова метрика $h$, что функция

$$v \longmapsto-h(v, v)$$на $E$ строго псевдовыпукла вне нулевого сечения. Если $X$ – многообразие, то условие положительности выражается в терминах кривизны метрики $h$. А именно, форме кривизны метрики $h$ в расслоении $E$ отвечает эрмитова квадратичная форма $\Omega$ на $X$ со значениями в расслоении $\operatorname{Herm} E$ эрмитовых эндоморфизмов расслоения $E$. Условие положительности эквивалентно тому, что $\Omega_x(u)$ – положительно определённый оператор в $E_x$ для любого $x \in X$ и любого ненулевого $u \in T_{X, x}$.

В случае, когда $E$ – расслоение на комплексные прямые над многообразием $X,$ условие положительности равносильно положительной определённости матрицы

$$\left\|-\frac{\partial^2 \log h}{\partial z_\alpha \bar{z}_\beta}\right\|,$$где $z_1, \ldots, z_n$ – локальные координаты на $X$, $h>0$ – функция, задающая эрмитову метрику при локальной тривиализации расслоения. Если $X$ компактно, то расслоение на комплексные прямые $E$ над $X$ положительно тогда и только тогда, когда класс Чжэня $c_1(E)$ содержит замкнутую форму вида

$$i \sum_{\alpha, \beta} \varphi_{\alpha \beta} d z_\alpha \wedge d \bar{z}_\beta,$$где $\|\varphi \alpha \beta\|$ – положительно определённая эрмитова матрица. В частности, если $X$ – риманова поверхность, то расслоение над $X$, определяемое дивизором степени $d$, положительно тогда и только тогда, когда $d>0$. В случае, когда $E$ – расслоение ранга $>1$ над многообразием $X$ размерности $>1$, рассматривается также следующий более узкий класс положительного расслоения: расслоение $E \rightarrow X$ называется положительным в смысле Накано, если на $E$ существует такая эрмитова метрика $h$, что эрмитова квадратичная форма $H$ на расслоении $E \otimes T_X$, заданная формулой

$$H_x(v \otimes u)=h_x\left(v, \Omega_x(u) v\right),$$где $x \in X$, $v \in E_x$, $u \in T_{X, x}$, положительно определена. Примеры: касательное расслоение $T_{P_n}$ к проективному пространству $P^n$ положительно, но при $n>1$ не является положительным в смысле Накано; расслоение на комплексные прямые над $P^n$, определяемое гиперплоскостью, положительно.

Любое факторрасслоение положительного векторного расслоения положительно. Если $E^{\prime}$, $E^{\prime \prime}$ – положительные (положительные в смысле Накано) расслоения, то $E^{\prime} \oplus E^{\prime \prime}$ и $E^{\prime} \otimes E^{\prime \prime}$ положительны (положительны в смысле Накано).

Понятие «положительное расслоение» было введено в связи с теоремой Кодаиры об обращении в нуль для случая расслоений на комплексные прямые, а затем обобщено на произвольные расслоения. Несколько позже, в связи с вопросом о существовании вложения в проективное пространство, были выделены понятия слабоположительного и слабоотрицательного расслоений.

Голоморфное векторное расслоение $E$ над компактным комплексным пространством $X$ называется слабоотрицательным, если его нулевое сечение обладает строго псевдовыпуклой окрестностью в $E$, т. е. является исключительным аналитическим множеством. Расслоение $E$ называется слабоположительным, если сопряжённое расслоение $E^*$ слабоотрицательно. В случае, когда $X$ – риманова поверхность, понятия слабоположительного и положительного расслоений совпадают (Umemura. 1973).

Слабая положительность расслоения $E \rightarrow X$ равносильна каждому из следующих свойств: для любого когерентного аналитического пучка $\mathscr{F}$ на $X$ существует такое $m_0>0$, что пучок $\mathscr{F} \otimes S^m \mathscr{E}$ при $m \geqslant m_0$ порождаетcя глобальными сечениями; для любого когерентного аналитического пучка $\mathscr{F}$ на $X$ существует такое $m \geqslant 0$, что

$$H^q\left(X, \mathscr{F} \otimes S^m \mathscr{E}\right)=0$$для всех $q \geqslant 1$ (Онищик. 1977, Schneider. 1978). Через $\mathscr{E}$ здесь обозначается пучок ростков голоморфных сечений расслоения $E$. Слабоположительные расслоения аналогичны, таким образом, обильным векторным расслоениям из алгебраической геометрии и иногда называются обильными аналитическими расслоениями. Слабоположительное расслоение над пространством $X$ естественным образом определяет вложение пространства $X$ в многообразие Грассмана и тем самым в проективное пространство.

Понятия положительного, отрицательного, слабоположительного и слабоотрицательного расслоений естественным образом обобщаются также на случай линейных пространств над комплексным пространством $X$ (см. в статье Векторное аналитическое расслоение).

См. также Отрицательное расслоение.