Эрми́това ме́трика, 1) эрмитова метрика в комплексном векторном пространстве $V$ – положительно определённая эрмитова форма в $V$. Пространство $V$, снабжённое эрмитовой метрикой, называется унитарным (или комплексно евклидовым, или эрмитовым векторным) пространством, а эрмитова метрика в нём – эрмитовым скалярным произведением. Любые две эрмитовы метрики в $V$ переводятся друг в друга автоморфизмом пространства $V$. Таким образом, множество всех эрмитовых метрик в $V$ является однородным пространством группы $GL_n(\mathbb C)$ и отождествляется $GL_n(\mathbb C)/U(n),$ где $n = {\rm dim}\, V$.

Комплексное векторное пространство $V$ можно рассматривать как вещественное векторное пространство $V^{\mathbb R}$, снабжённое оператором комплексной структуры $J(x) = ix$. Если $h$ – эрмитова метрика в $V$, то форма $g = {\rm Re}\, h$ является евклидовой метрикой (скалярным произведением) в $V$, а форма $\omega ={\rm Im} h$ – невырожденной кососимметрической билинейной формой в $V$. При этом $g(Jx, Jy) = g(x,y)$, $\omega(Jx,Hy) = \omega(x,y)$, $\omega(x,y) = g(x, Jy)$. Любая из форм $g$, $\omega$ однозначно определяет $h$.

2) Эрмитова метрика в комплексном векторном расслоении $\pi: E\to M$ – функция $g: p\mapsto g_p$ на базе $M$, сопоставляющая точке $p\in M$ эрмитову метрику $g_p$ в слое $E(p) = \pi^{-1} (p)$ расслоения $\pi$ и удовлетворяющая следующему условию гладкости: для любых гладких локальных сечений $e$, $e'$ расслоения $\pi$ функция $p\mapsto g_p(e_p, e_p')$ является гладкой.

В любом комплексном векторном расслоении существует эрмитова метрика. Связность $\nabla$ в комплексном векторном расслоении $\pi$ называется согласованной с эрмитовой метрикой $g$, если $g$ и оператор $J$ комплексной структуры в слоях расслоения $\pi$ ковариантно постоянны (т. е. $\nabla g = \nabla J = 0$), иначе говоря, если соответствующий параллельный перенос слоёв расслоения $\pi$ вдоль кривых на базе является изоморфизмом слоёв как унитарных пространств. Для любой эрмитовой метрики существует согласованная с ней связность, которая, вообще говоря, не единственна. В случае когда $\pi$ есть голоморфное векторное расслоение над комплексным многообразием $M$ (см. в статье Векторное аналитическое расслоение), существует единственная связность $\nabla$ расслоения $\pi$, согласованная с данной эрмитовой метрикой и удовлетворяющая следующему условию: ковариантная производная любого голоморфного сечения $e$ расслоения $\pi$ относительно любого антиголоморфного комплексного векторного поля $\overline X$ на M равна нулю (каноническая эрмитова связность). Форму кривизны этой связности можно рассматривать как 2-форму типа $(1,1)$ на $M$ со значением в расслоении эндоморфизмов векторного расслоения $\pi$. Каноническую связность можно рассматривать также как связность в главном $GL\, (n,\mathbb C)$-расслоении $\tilde\pi: P\to M$, ассоциированном с голоморфным расслоением $\pi$ комплексной размерности $n$. Она характеризуется как единственная связность в $\tilde\pi$, горизонтальные подпространства которой являются комплексными подпространствами касательных пространств комплексного многообразия $P$.