Определи́тель Гра́ма, грамиан, определитель вида$$\Gamma=\Gamma\left(a_1, \ldots, a_n\right)=\operatorname{det}\left|\left(a_i, a_k\right)\right|, \quad i, k=1, \ldots, n,$$где $a_1, \ldots, a_n$ – элементы (пред)гильбертова пространства, а $\left(a_i, a_k\right)$ – их скалярные произведения. Определитель Грама равен квадрату $n$-мерного объёма параллелотопа, построенного на векторах $a_1, \ldots, a_n$.

Определитель Грама является определителем неотрицательной эрмитовой формы

$$\sum_{i, k=1}^n\left(a_i, a_k\right) \xi_i \bar{\xi}_k=\left\|\sum_{i=1}^n a_i \xi_i\right\|^2,$$откуда и вытекают его основные свойства:

1) определитель Грама неотрицателен, т. е. $\Gamma \geqslant 0$. Равенство $\Gamma=0$ имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы. Это свойство может рассматриваться как обобщение неравенства Коши:

$$\Gamma\left(a_1, a_2\right) \geqslant 0 \quad \text { или } \quad\left(a_1, a_1\right)\left(a_2, a_2\right) \geqslant\left(a_1, a_2\right)\left(a_2, a_1\right)= \left|\left(a_1, a_2\right)\right|^2.$$В частности, определитель Грама равен нулю, если какой-либо его главный минор (также являющийся определителем Грама) равен нулю.

2) $\Gamma\left(a_1, \ldots, a_n\right) \leqslant \Gamma\left(a_1, \ldots, a_p\right) \Gamma\left(a_{p+1}, \ldots, a_n\right),$ причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда подпространства $L\left(a_1, \ldots, a_p\right)$ и $L\left(a_{p+1}, \ldots, a_n\right)$ ортогональны или один из определителей $\Gamma\left(a_1, \ldots, a_p\right)$, $\Gamma\left(a_p+1, \ldots, a_n\right)$ равен нулю. Геометрически это неравенство означает, что объём параллелотопа не превосходит произведения объёмов дополнительных граней.

В частности,

$$\Gamma\left(a_1, \ldots, a_n\right) \leqslant \Gamma\left(a_1\right) \ldots \Gamma\left(a_n\right).$$3) $\Gamma\left(a_1, \ldots, a_n\right)=\Gamma\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right) h^2$, где

$$h=\min _{x^1, \ldots, x^{n-1}}\left\|a_n-\sum_{i=1}^{n-1} x^i a_i\right\|$$есть расстояние от элемента $a_n$ до подпространства $L\left(a_1, \ldots, a_{n-1}\right)$, т. е. наилучшее квадратическое приближение элемента $a_n$ полиномами вида $\sum_{i=1}^{n-1} x^j a_i$.

Если $a_1, \ldots, a_n$ суть $n$-мерные векторы $a_i=\left(a_i^1, \ldots, a_i^n\right)$, то

$$\Gamma\left(a_1, \ldots, a_n\right)= \left(\operatorname{det}\left|a_i^j\right|\right)^2, \quad i, j=1, \ldots, n.$$Определители Грама введены Й. Грамом (Gram. 1879) и независимо К. А. Андреевым (см. Андреев. 1955) в связи с задачами разложения функций в ортогональные ряды и наилучшего квадратического приближения функций.

Определители Грама применяются при решении многих задач линейной алгебры и теории функций: исследовании линейной зависимости системы векторов или функций, ортогонализации системы функций, построение проекторов, а также при изучении свойств систем функций.

Определители Грама являются частным случаем определителей вида

$$\Gamma\left(\begin{array}{l} a_1, \ldots, a_n \\ b_1, \ldots, b_n \end{array}\right)=\operatorname{det}\left|\left(a_i, b_j\right)\right|, \quad i, j=1, \ldots, n,$$которые эрмитово билинейны по отношению к векторам $a_i$ и $b_j$. Если $a_i(x)$ принадлежат классу $L_2(E)$, то справедлива формула

$$\operatorname{det}\left(a_i, b_j\right)= \frac{1}{n !} \int_E \cdots \int_E \operatorname{det}\left|a_i\left(x_j\right)\right| \operatorname{det}\left|\overline{b_i}\left(x_j\right)\right|\, d x_1 \ldots d x_n.$$