Гиперболи́ческие фу́нкции, функции, определяемые формулами:

$$\operatorname {sh}\, x = \frac {e^x-e^{-x}}{2}, \quad \operatorname {ch}\, x = \frac {e^x+e^{-x}}{2},$$где $e$ – основание натуральных логарифмов $-\infty \lt x\lt \infty$. Функции $\operatorname {sh} x$ и $\operatorname {ch} x$ называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. Рассматриваются также гиперболический тангенс

$$\th x=\frac {e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} = \frac {\text {sh}\ x}{\text {ch}\ x},$$где $-\infty \lt x\lt \infty$, и гиперболический котангенс

$$\operatorname{cth} x= \frac{1}{\th x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x-e^{-x}} = \frac{\ch x}{\sh x},$$где $x \neq 0$. Графики гиперболических функций см. на рис. 1, 2.

Гиперболические функции связаны соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями, например

$$\begin{gathered} \operatorname {ch}^2x- \operatorname {sh}^2x=1, \quad\operatorname{th}x\operatorname{cth}x=1,\\ \operatorname {sh}(x±y)=\operatorname{sh}x \operatorname{ch}y±\operatorname{ch} x\operatorname{sh}y,\\ \operatorname{ch}(x±y)=\operatorname{ch} x \operatorname{ch}y± \operatorname{sh} x \operatorname{sh}y. \end{gathered}$$Гиперболические функции можно выразить через тригонометрические функции мнимого аргумента:

$$\operatorname{sh}x=–i\sin (ix),\quad \operatorname {ch}x=\cos(ix),$$где $i$ – мнимая единица.

Гиперболические функции можно получить, рассматривая равнобочную гиперболу $x^2-y^2=1$, которая задаётся параметрически уравнениями $x=\text{ch}\,t$, $y=\text{sh}\,t$ (рис. 3). Тогда длины отрезков $OB$ и $CB$ равны соответственно $\text{ch}\,t$ и $\text{sh}\,t$, а параметр $t$ равен удвоенной площади «треугольника» $OAC$.

Обратные гиперболические функции задаются формулами:

$$\begin{gathered} \text{arsh}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}), \quad -\infty \lt x\lt \infty,\\ \operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}),\quad−∞<x<∞,\\ \text{arch}\,x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\quad x\ge1,\\ \text{arsh}\,x={1\over2}\ln{{1+x}\over{1-x}},\quad ∣x∣\lt1,\\ \text{arcth}\,x={1\over2}\ln{{1+x}\over{1-x}}, \quad ∣x∣\gt1. \end{gathered}$$

Рис. 1. Графики гиперболического синуса и гиперболического косинуса.Рис. 1. Графики гиперболического синуса и гиперболического косинуса.