Многочле́ны Фа́бера, классическая базисная система, служащая для представления аналитических функций в комплексной области. Пусть дополнение ограниченного континуума $K$, содержащего более одной точки, есть односвязная область $D$ комплексной плоскости $\mathbb{C}$, а функция $w=\Phi(z)$, $z \in D$, отображает конформно и однолистно область $D$ на область $|w|>1$ при условиях $\Phi(\infty)=\infty$ и $\Phi^{\prime}(\infty)>0$. Тогда многочлены Фабера $\left\{\Phi_n(z)\right\}$ можно определить как суммы членов с неотрицательными степенями $z$ в разложениях Лорана функций $\left\{\Phi^n(z)\right\}$ в окрестности точки $z=\infty$. Многочлены Фабера для континуума $K$ можно определить так же, как коэффициенты разложения

$$\frac{\Psi^{\prime}(w)}{\Psi(w)-z}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Phi_n(z)}{W^{n+1}}, \quad z \in K,\quad|w|>1, \tag{1}$$где функция $\zeta=\Psi(w)$ – обратная функции $w=\Phi(\zeta)$. Если континуум $K$ – круг $|z| \leqslant 1$, то $\Phi_n(z)=z^n$. А в случае когда $K$ – отрезок $[-1,1]$, многочлены Фабера суть многочлены Чебышёва 1-го рода. Эти многочлены были введены Г. Фабером (Faber. 1903).

Если континуум $K$ есть замыкание односвязной области $G$, ограниченной спрямляемой жордановой кривой $\Gamma$, а функция $f(z)$ – аналитическая в области $G$, непрерывная в замкнутой области $\bar{G}$ и имеющая ограниченную вариацию на $\Gamma$, то в области $G$ эта функция разлагается в ряд Фабера

$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \Phi_n(z), \quad z \in G, \tag{2}$$сходящийся равномерно внутри области $G$, т. е. на всяком замкнутом подмножестве области $G$, причём коэффициенты разложения определяются по формуле

$$a_n=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Gamma} \frac{f(\zeta) \Phi^{\prime}(\zeta)}{\Phi^{n+1}(\zeta)}\, d \zeta.$$Ряд Фабера (2) сходится равномерно в замкнутой области $\bar{G}$, если, например, кривая $\Gamma$ имеет непрерывно вращающуюся касательную, угол наклона которой к действительной оси как функция длины дуги удовлетворяет условию Липшица. При этом же условии на кривую $\Gamma$ для всякой функции $f(z)$, аналитической в области $G$ и непрерывной в замкнутой области $\bar{G}$, имеет место неравенство Лебега

$$\left|f(z)-\sum_{k=0}^n a_k \Phi_k(z)\right| \leqslant c_1 E_n(f, \bar{G}) \ln n, \quad z\in\bar{G},$$где постоянная $c_1$ не зависит от $n$ и $z$, а $E_n(f, \bar{G})$ – наилучшее равномерное приближение функции $f(z)$ многочленами степени не старше $n$ в замкнутой области $\bar{G}$.

В числителе левой части формулы (1) можно ввести весовую функцию вида $g[\Psi(w)]$, где функция $g(z)$, аналитическая в области $D$, отлична от нуля и $g(\infty)>0$. Тогда коэффициенты разложения (1) называются обобщёнными многочленами Фабера.