Лока́льная а́лгебра Ли, алгебра Ли, элементами которой являются гладкие функции на гладком вещественном многообразии $M$ (или, более общо, гладкие сечения гладкого векторного расслоения $E$ над $M$), a операция коммутирования непрерывна в $C^{\infty}$-топологии и носит локальный характер, т. е.$$\operatorname{supp}\left[f_1, f_2\right] \subset \operatorname{supp} f_1 \cap \operatorname{supp} f_2,$$где $\operatorname{supp} f$ – носитель функции (сечения) $f$. Известна полная классификация локальных алгебр Ли для расслоений $E$ c одномерным слоем (в частности, для обычных функций) (Кириллов. 1976). А именно, операция коммутирования в этом случае является бидифференциальным оператором первого порядка, т. е. имеет вид$$\left[f_1, f_2\right]=\sum_{i, j} c^{i j}(x) \partial_i f_1 \partial_j f_2+\sum_k a^k(x)\left(f_1 \partial_k f_2-f_2 \partial_k f_1\right),$$где $\partial_i=\partial / \partial x^i$ – частные производные по локальным координатам на $M$. Далее, пусть $P(x)$ – подпространство в касательном пространстве $T_x M$ к многообразию $M$ в точке $x \in M$, порождённое векторами$$\begin{gathered} a(x)=\sum_k a^k(x) \partial_k \quad \text { и } \quad c^i(x)=\sum_j c^{i j}(x) \partial_j, \\ i=1,2, \ldots, n. \end{gathered}$$Тогда распределение $\{P(x), x \in M\}$ интегрируемо, так что многообразие $M$ распадается в объединение $U_{\alpha \in A} M_\alpha$ интегральных многообразий. Операция коммутирования перестановочна с ограничением на $M_\alpha$, и возникающие таким образом структуры локальной алгебры Ли на $M_\alpha$ транзитивны в том смысле, что $P(x)$ для любой точки $x$ совпадает с касательным пространством к интегральному многообразию $M_\alpha$, содержащему $x$.

Каждая транзитивная локальная алгебра Ли локально определяется размерностью подстилающего многообразия с точностью до замены переменных в базе и слое. Для чётномерного многообразия она изоморфна алгебре скобок Пуассона, а для нечётномерных – алгебре скобок Лагранжа (Арнольд. 1974).

Примером локальной алгебры Ли, иллюстрирующим общую теорию, является структура алгебры Ли в $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$, в которой$$\left[f_1, f_2\right]=\sum_{i, j, k} c_k^{i j} x^k \partial_i f_1 \partial_j f_2,$$где $c_k^{i j}$ – структурные константы некоторой $n$-мерной алгебры Ли $\mathfrak{g}$ (см. Березин. 1967). В этом случае многообразие $M=\mathbb{R}^n$ естественно отождествляется с пространством $\mathfrak{g}^*$, двойственным к $\mathfrak{g}$, а разбиение на подмногообразия $M_\alpha$ совпадает с разбиением $\mathfrak{g}^*$ на орбиты коприсоединённого представления.

Локальные алгебры Ли возникают как алгебры Ли некоторых бесконечномерных групп Ли. В частности, они являются алгебрами Ли для дифференциальных групп в смысле Дж. Ритта (Ritt. 1950). Из работы (Weisfeiler. 1978) вытекает описание всех локальных алгебр Ли, связанных с расслоениями на прямой с двумерным слоем. Все такие локальные алгебры Ли являются расширениями алгебры скобок Лагранжа (которая в этом случае совпадает с алгеброй Ли векторных полей) с помощью тривиальной локальной алгебры Ли с одномерным слоем. Анонсирована (Weisfeiler. 1978) классификация «простых» локальных алгебр Ли.