Кольцо́ дискре́тного норми́рования (дискретно нормированное кольцо), кольцо с дискретным нормированием, т. е. область целостности с единицей, в которой существует такой элемент $\pi$, что любой ненулевой идеал порождается некоторой степенью элемента $\pi$; такой элемент называется униформизирующим и определён с точностью до умножения на обратимый элемент. Каждый ненулевой элемент кольца дискретного нормирования единственным способом записывается в виде $u \pi^n$, где $u$ – обратимый элемент, а $n \geqslant 0$ – целое. Примерами колец дискретного нормирования являются кольцо $\mathbb{Z}_p$ целых $p$-адических чисел, кольцо $k[[T]]$ формальных степенных рядов от одной переменной $T$ над полем $k$, кольцо векторов Витта $W(k)$ для совершенного поля $k$.

Кольцо дискретного нормирования может быть определено также как: локальное кольцо главных идеалов; локальное дедекиндово кольцо; локальное одномерное кольцо Крулля; локальное нётерово кольцо с главным максимальным идеалом; нётерово кольцо нормирования; кольцо нормирования с группой значений $\mathbb{Z}$.

Пополнение (в естественной топологии локального кольца) кольца дискретного нормирования снова есть кольцо дискретного нормирования. Дискретно нормированное кольцо компактно тогда и только тогда, когда оно полно, а его поле вычетов конечно; любое такое кольцо либо изоморфно $k[[T]]$, где $k$ – конечное поле, либо является конечным расширением $\mathbb{Z}_p$.

Если $A \subset B$ – локальный гомоморфизм кольца дискретного нормирования с униформизирующими $\pi$ и $\Pi$, то $\pi=u \Pi^e$, где $u$ – обратимый элемент в $B$. Целое число $e=e(B / A)$ называется индексом ветвления расширения $A \subset B$, а

$$[B / \Pi B: A / \pi A]=f(B / A)$$называется степенью вычетов. Такая ситуация возникает, когда рассматривают целое замыкание $B$ кольца дискретного нормирования $A$ с полем частных $K$ в конечном расширении $L$ поля $K$. В этом случае $B$ есть полулокальное кольцо главных идеалов, и если $\mathfrak{n}_1, \ldots, \mathfrak{n}_s$ – его максимальные идеалы, то $B_i=B_{\mathfrak{n}_i}$ являются кольцами дискретного нормирования. Если предположить, что $L$ – сепарабельное расширение $K$ степени $n$, то верна формула

$$\sum_{i=1}^s e\left(B_i / A\right) f\left(B_i / A\right)=n \text {. }$$Если $L / K$ есть расширение Галуа, то все $e\left(B_i / A\right)$ и все $f\left(B_i / A\right)$ равны между собой и $n=s e f$. Если же $A$ – полное кольцо дискретного нормирования, то уже само $B$ будет кольцом дискретного нормирования и $e(B / A) f(B / A)=n$. В этих предположениях расширение $A \subset B$ (а также $L$ над $K$) называется неразветвлённым расширением, если $e(B / A)=1$, а поле $B /\mathfrak{n}$ сепарабельно над $A / \mathfrak{m}$; слаборазветвлённым, если $e(B / A)$ взаимно просто с характеристикой поля $A / \mathfrak{m}$, а $B / \mathfrak{n}$ сепарабельно над $A / \mathfrak{m}$; вполне разветвлённым, если $f(B / A)=1$.

Теория модулей над кольцом дискретного нормирования имеет большое сходство с теорией абелевых групп (см. Kaplansky. 1952). Любой модуль конечного типа есть прямая сумма циклических модулей; модуль без кручения является плоским модулем; любой проективный модуль или подмодуль свободного модуля свободен. Однако прямое произведение бесконечного числа свободных модулей несвободно. Модуль без кручения счётного ранга над полным кольцом дискретного нормирования является прямой суммой модулей ранга $1$.