Ве́ктор Ви́тта, элемент алгебраической конструкции, впервые предложенной Э. Виттом в 1936 г. (Witt. 1937) в связи с описанием неразветвлённых расширений полей $p$-адических чисел. Позже вектора Витта были применены при изучении алгебраических многообразий над полем положительной характеристики (Мамфорд. 1968), а также в теории коммутативных алгебраических групп (Серр. 1968; Demazure. 1970) и в теории формальных групп (Dieudonne. 1957). Пусть $A$ – ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Векторами Витта с компонентами в $A$ называются бесконечные последовательности $a=\left(a_0, a_1, \ldots\right)$, $a_i \in A$, которые складываются и перемножаются по следующим правилам:

$$\begin{aligned} \left(a_0, a_1, \ldots\right)\dotplus\left(b_0, b_1, \ldots\right)&=\left(S_0\left(a_0, b_0\right), S_1\left(a_0, a_1 ; b_0, b_1\right), \ldots\right) \text {, }\\ \left(a_0, a_1, \ldots\right) \overset{\cdot}{\times}\left(b_0, b_1, \ldots\right)&=\left(M_0\left(a_0, b_0\right), M_1\left(a_0, a_1 ; b_0, b_1\right), \ldots\right), \end{aligned}$$где $S_n$, $M_n$ – многочлены от переменных $X_0, \ldots, X_n$, $Y_0, \ldots, Y_n$ c целыми коэффициентами, однозначно определяемые условиями

$$\begin{aligned} \Phi_n\left(S_0, \ldots, S_n\right)&=\Phi_n\left(X_0, \ldots, X_n\right)+\Phi_n\left(Y_0, \ldots, Y_n\right),\\ \Phi_n\left(M_0, \ldots, M_n\right)&=\Phi_n\left(X_0, \ldots, X_n\right) \cdot \Phi_n\left(Y_0, \ldots, Y_n\right); \end{aligned}$$здесь

$$\Phi_n=Z_0^{p^n}+p Z_1^{p^{n-1}}+\ldots+p^n Z_n$$– многочлены, $n \in N$, $p$ – простое число. В частности,

$$\begin{aligned} S_0&=X_0+Y_0 ; \quad S_1=X_1+Y_1-\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{p}\left(\begin{array}{c} p \\ i \end{array}\right) X_0^i Y_0^{p-i}; \\ M_0&=X_0 Y_0, \quad M_1=X_0^p Y_1+X_1 Y_0^p+p X_1 Y_1. \end{aligned}$$Вектор Витта c введёнными выше операциями образуют кольцо, называемое кольцом вектора Витта и обозначаемое $W(A)$. Для любого натурального $n$ определено также кольцо $W_n(A)$ усечённых векторов Витта длины $n$. Элементы этого кольца являются конечными наборами $a=\left(a_0, \ldots, a_{n-1}\right)$, $a_i \in A$, c операциями сложения и умножения, приведёнными выше. Канонические отображения:

$$\begin{aligned} R: W_{n+1}(A) &\longrightarrow W_n(A), & R\left(\left(a_0, \ldots, a_n\right)\right)&=\left(a_0, \ldots, a_{n-1}\right),\\ T: W_n(A) &\longrightarrow W_{n+1}(A),& T\left(\left(a_0, \ldots, a_{n-1}\right)\right)&=\left(0, a_0, \ldots, a_{n-1}\right) \end{aligned}$$являются гомоморфизмами. Сопоставление $A \rightarrow W(A)$ [соответственно $A \rightarrow W_n(A)$] определяет ковариантный функтор из категории коммутативных колец с единицей в категорию колец. Этот функтор представим кольцом многочленов $Z\left[X_0, \ldots, X_n, \ldots\right]$ (соответственно $Z\left[X_0, \ldots,.\left.X_{n-1}\right]\right)$, на котором определена структура кольцевого объекта. Спектр $\operatorname{Spec} Z\left[X_0, \ldots, X_n, \ldots\right]$ (соответственно $\operatorname{Spec}\left.Z\left[X_0, \ldots X_{n-1}\right]\right)$ называется схемой Витта (соответственно усечённой схемой Витта) и является кольцевой схемой (Мамфорд. 1968).

Каждый элемент $a \in A$ определяет вектор Витта

$$a^\tau=(a, 0,0, \ldots) r \in W(A),$$называемый представлением Тейхмюллера элемента $a$. Если $A=k$ – совершенное поле характеристики $p>0$, то $W(k)$ является полным кольцом дискретного нормирования характеристики нуль с полем вычетов $k$ и максимальным идеалом $p W(k)$. При этом каждый элемент $\omega \in W(k)$ однозначно записывается в виде

$$\omega=\omega_0^\tau+p \omega_1^\tau+p^2 \omega_2^\tau+\ldots,$$где $\omega_i \in k$. Наоборот, каждое такое кольцо $A$ с полем вычетов $k=A / p$ канонически изоморфно кольцу $W(k)$. Представление Тейхмюллера позволяет построить канонический мультипликативный гомоморфизм $k \rightarrow W(k)$, расщепляющий отображение

$$W(k) \longrightarrow W(k) / p \simeq k .$$Если $k=F_p$ – простое поле из $p$ элементов, то $W\left(F_p\right)$ есть кольцо целых $p$-адических чисел $Z_p$.