Интеграл Лебега – Стилтьеса

Интегра́л Лебе́га – Сти́лтьеса, обобщение интеграла Лебега. Для неотрицательной меры $\mu$ название «интеграл Лебега – Стилтьеса» употребляется в том случае, когда $X=R^{n}$ и $\mu$ не есть мера Лебега; тогда интеграл$\int_{X} f\,d \mu$ определяется так же, как интеграл Лебега в общем случае. Если мера $\mu$ знакопеременная, то $\mu=\mu_{1}-\mu_{2}$, где $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ – неотрицательные меры, и интеграл Лебега – Стилтьеса определяется как

$$\int_{X} f d \mu=\int_{X} f d \mu_{1}-\int_{X} f d \mu_{2}$$при условии, что оба интеграла в правой части существуют. Для $X=R^{1}$ счётная аддитивность и ограниченность меры $\mu$ эквивалентны тому, что мера порождена некоторой функцией $\Phi$ ограниченной вариации. В таком случае интеграл Лебега – Стилтьеса записывается в виде $\int_{a}^{b} f\,d \Phi$. Для дискретной меры интеграл Лебега – Стилтьеса представляет собой числовой ряд.