Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости (о предельном переходе под знаком интеграла), пусть на множестве $E$ задана последовательность измеримых функций $f_{n}(x)$, которая сходится почти всюду (или по мере) на $E$ к функции $f(x)$; если на $E$ существует такая суммируемая функция $\Phi(x)$, что $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant \Phi(x)$ при всех $n$ и $x$, то $f_{n}(x)$ и $f(x)$ суммируемы на $E$ и

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x)\,d x=\int_{E} f(x)\,d x.$$Впервые доказана А. Л. Лебегом (1910). Важный частный случай $\Phi(x)=\operatorname{const}$ и $E$ с конечной мерой, также называемый теоремой Лебега, был им получен раньше (Lebesgue. 1902).

Иногда теоремой Лебега называют теорему, впервые доказанную Б. Леви (1906): пусть на множестве $E$ задана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций $0 \leqslant f_{1}(x) \leqslant f_{2}(x) \leqslant \ldots$ и

$$f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$$почти всюду, тогда

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{E} f_{n}(x)\,d x=\int_{E} f(x)\,d x.$$