Научные законы, утверждения, уравненияНаучные законы, утверждения, уравнения
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости (о предельном переходе под знаком интеграла), пусть на множестве E задана последовательность измеримых функций fn(x), которая сходится почти всюду (или по мере) на E к функции f(x); если на E существует такая суммируемая функция Φ(x), что ∣fn(x)∣⩽Φ(x) при всех n и x, то fn(x) и f(x) суммируемы на E и
n→∞lim∫Efn(x)dx=∫Ef(x)dx.Впервые доказана А. Л. Лебегом (1910). Важный частный случай Φ(x)=const и E с конечной мерой, также называемый теоремой Лебега, был им получен раньше (Lebesgue. 1902).
Иногда теоремой Лебега называют теорему, впервые доказанную Б. Леви (1906): пусть на множестве E задана неубывающая последовательность измеримых неотрицательных функций 0⩽f1(x)⩽f2(x)⩽… и
f(x)=n→∞limfn(x)почти всюду, тогда
n→∞lim∫Efn(x)dx=∫Ef(x)dx.
Лукашенко Тарас Павлович. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978. Опубликовано 30 июня 2022 г. в 17:47 (GMT+3). Последнее обновление 30 июня 2022 г. в 17:47 (GMT+3).