Барье́р (барьер Лебега) в теории потенциала, функция, существование которой является необходимым и достаточным условием регулярности граничной точки в отношении поведения обобщённого решения задачи Дирихле в этой точке (см. также Метод Перрона).

Пусть $D$ – область в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, и $\xi$ – точка её границы $\Gamma=\partial D$. Барьером для точки $\xi$ называется всякая функция $w_{\xi}(x)$, непрерывная в пересечении $(D \cup \Gamma) \cap B$ замкнутой области $D \cup \Gamma$ и некоторого шара $B=B(R, \xi)$ с центром в точке $\xi$, супергармоническая внутри $D \cap B$ и положительная в $(D \cup \Gamma) \cap B$, за исключением точки $\xi$, в которой она обращается в нуль. Например, при $n \geqslant 3$ во всякой граничной точке $\xi$, для которой существует замкнутый шар $\bar{B}(R, y)$, имеющий с $D \cup \Gamma$ единственную общую точку $\xi$, в качестве барьера можно взять гармоническую функцию

$$w_{\xi}(x)=\frac{1}{R^{n-2}}-\frac{1}{|x-y|^{n-2}} \text {, }$$где $R$ – радиус шара $\bar{B}(R, y)$, а $y$ – его центр.

Барьер в теории функций комплексного переменного – функция, из существования которой для всех граничных точек области $D$ следует, что $D$ является областью голоморфности. Пусть $D$ – область в комплексном пространстве $\mathbb{C}^n$, $n>1$, и $\xi$ – точка границы $\Gamma=\partial D$. Барьер в точке $\xi$ есть всякая аналитическая функция $f(z)$ в $D$, имеющая особенность в $\xi$. Так, для граничной точки $\xi$ любой плоской области $D \subset \mathbb{C}$ барьером является функция $1 /(z-\xi)$. В каждой точке $\xi=\left(\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\right)$ границы шара

$$D=\left\{z=\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right) ; \quad \sum_{i=1}^n\left|z_i\right|^2<R^2\right\}$$также существует барьер – функция $1 /\left(\bar{\xi}_1 z_1+\ldots +\bar{\xi}_n z_n-R^2\right)$.

Барьер существует в граничной точке $\xi$ области $D$, если в $D$ определена аналитическая функция $f(z)$, неограниченная в $\xi$, т. е. такая, что для некоторой последовательности точек $\left\{z^{(k)}\right\} \subset D$, сходящейся к $\xi$, имеем

$$\lim _{k \rightarrow \infty}\left|f\left(z^{(k)}\right)\right|=+\infty .$$Обратное справедливо для областей $D \subset C^n$ в следующей усиленной форме: для любого множества $E$ точек границы области $D$, в которых существует барьер, найдётся голоморфная в $D$ функция, неограниченная во всех точках $E.$ Если $E$ всюду плотно на границе $D$, то $D$ – область голоморфности.