Слоение

Слое́ние на ${\displaystyle n}$-мерном многообразии ${\displaystyle M^{n}}$ – такое разбиение ${\displaystyle M^{n}}$ на линейно связные подмножества, именуемые слоями, что ${\displaystyle M^{n}}$ можно покрыть координатными окрестностями ${\displaystyle U_{\alpha }}$ с локальными координатами ${\displaystyle x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{n}}$, в терминах которых локальные слои – компоненты связности пересечения слоёв с ${\displaystyle U_{\alpha }}$ – задаются уравнениями ${\displaystyle x_{\alpha }^{p+1}={\rm {const}},\dots ,x_{\alpha }^{n}={\rm {const}}}$. Слоение в этом смысле называется топологическим слоением; требуя же, чтобы ${\displaystyle M^{n}}$ имело кусочно линейную, дифференцируемую или аналитическую структуру и чтобы локальные координаты были кусочно линейными, дифференцируемыми (класса ${\displaystyle C^{r}}$) или аналитическими, получают определение кусочно линейного, дифференцируемого (класса ${\displaystyle C^{r}}$) или аналитического слоения. Определение дифференцируемого слоения класса ${\displaystyle C^{r}}$ формально годится и при ${\displaystyle r=0}$, совпадая в этом случае с определением топологического слоения. Обычно, говоря о дифференцируемом слоении, подразумевают, что ${\displaystyle r\geqslant 1}$. Слои естественно снабжаются структурой ${\displaystyle p}$-мерных многообразий (топологических, кусочно линейных, дифференцируемых или аналитических) и тем самым оказываются подмногообразиями (в широком смысле слова) многообразия ${\displaystyle M^{n}}$. Число ${\displaystyle p}$ (размерность слоёв) называется размерностью слоения, a ${\displaystyle q=n-p}$ – его коразмерностью. Рассматривая слоения на многообразии с краем, обычно требуют либо трансверсальности слоёв к краю, либо же того, чтобы слой, пересекающийся с краем, целиком в нём содержался. Очевидным образом определяются комплексно-аналитические слоения. Основным в теории слоений является дифференцируемый случай (ниже слоения и отображения, как правило, подразумеваются дифференцируемыми).

Отображение

${\displaystyle \varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{q},\quad u\to {\big (}x_{\alpha }^{p+1}(u),\dots ,x_{\alpha }^{n}(u){\big )}}$

является субмерсией. Локальные слои суть ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-1}(c)}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{q}}$. Система локальных субмерсий ${\displaystyle \left\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\right\}}$ является согласованной в том смысле, что если ${\displaystyle u\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$, то возле ${\displaystyle u}$ можно перейти от ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(v)}$ к ${\displaystyle \varphi _{\beta }(v)}$ с помощью некоторого локального диффеоморфизма ${\displaystyle \Phi _{\beta \alpha ,u}}$ (класса ${\displaystyle C^{r}}$) пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$, т. е. для всех ${\displaystyle v}$, достаточно близких к ${\displaystyle u}$, имеет место ${\displaystyle \varphi _{\beta }(v)=\Phi _{\beta \alpha ,u}\varphi _{\alpha }(v)}$. Обратно, если ${\displaystyle M^{n}}$ покрыто областями ${\displaystyle U_{\alpha }}$ и заданы субмерсии ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{q}}$, согласованные в том же смысле, что и выше, то путём подходящего «склеивания» ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-1}(c)}$ между собой получается такое слоение, что каждое ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-1}(c)}$ содержится в некотором слое.

Сопоставление каждой точке ${\displaystyle u\in M^{n}}$ касательного пространства к проходящему через эту точку слою, приводит к некоторому полю ${\displaystyle p}$-мерных касательных подпространств (по другой терминологии, ${\displaystyle p}$-мерному распределению), которое называется касательным полем слоения. При ${\displaystyle p=1}$ любое поле ${\displaystyle p}$-мерных касательных подпространств, при самых минимальных требованиях дифференцируемости, является касательным полем некоторого однозначно определённого слоения. При ${\displaystyle p>1}$ это не так. Данный вопрос имеет локальный характер (см. Теорема Фробениуса). Непосредственное применение теоремы Фробениуса к инволютивному распределению показывает, что при выполнении соответствующих условий имеется система согласованных локальных субмерсий ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$, для которых заданное поле касается ${\displaystyle \varphi _{\alpha }^{-1}(c)}$, переход к слоению осуществляется путём надлежащих «склеиваний» (в других терминах это описано в Шeваллe. 1948^[1]).

Формирование понятия слоения произошло в 1940-х гг. в цикле работ Ж. Риба (G. Reeb) и Ш. Эресмана, завершившемся книгой (Reeb. 1952^[2]; в связи с историей см. Reeb. 1978^[3]), и было связано с переходом к глобальной точке зрения. Этому отчасти способствовала теория гладких динамических систем, где разбиение фазового многообразия (с выкинутыми положениями равновесия) на траектории потока является одномерным слоением. Особое положение, которое в этой теории занимают потоки на поверхностях (теория Пуанкаре – Бендиксона, дифференциальные уравнения на торе, теорема Кнезера), где траектории локально разбивают пространство, способствовало привлечению внимания к слоениям коразмерности ${\displaystyle 1}$. Другой пример слоения, проанализированный в 1940-х гг., – разбиение группы Ли на смежные классы по аналитической подгруппе (не обязательно замкнутой) (см. Шeваллe. 1948). Наконец, в комплексной области решения дифференциального уравнения ${\displaystyle dw/dz=f(z,w)}$ с аналитической правой частью образуют (с вещественной точки зрения) двумерное слоение.

После первых работ наступил перерыв в развитии теории слоений, которая тогда была ещё бедна значительными результатами. Интенсивное развитие началось с работ А. Хефлигера (Haefliger. 1962^[4]) и С. П. Новикова (Новиков. 1965^[5]), наиболее известные результаты которых таковы (Тамура. 1979^[6]): слоение коразмерности ${\displaystyle 1}$ на трёхмерной сфере имеет компактный слой (Новиков. 1965) и не может быть аналитическим (Haefliger. 1962), хотя ещё Ж. Риб построил слоение класса ${\displaystyle C^{\infty }}$. Тогда же при изучении некоторых динамических систем (У-системы и родственные им) возникли некоторые вспомогательные слоения (уже не одномерные, что тоже стимулировало исследование слоений; см. Новиков. 1965; Гладкие динамические системы. 1977^[7]). Все эти работы и ряд последующих можно отнести к «геометрическому» или «качественному» направлению (Фукс. 1981^[8]). В нём большое внимание уделяется слоениям коразмерности ${\displaystyle 1}$; существованию компактных слоёв; теоремам устойчивости (устанавливающим, что при определённых условиях слоение с компактным слоем устроено в его окрестности или глобально как расслоение; первые такие теоремы доказал ещё Ж. Риб; см. Тамура. 1979); характеристике «роста» слоёв (т. е. зависимости ${\displaystyle p}$-мерного объёма геодезического шара радиуса ${\displaystyle r}$ на слое от ${\displaystyle r}$) или их фундаментальных групп. Отметим также решение вопроса: если на замкнутом ${\displaystyle M^{n}}$ имеется ${\displaystyle p}$-мерное слоение, все слои которого компактны, то обязательно ли ограничен ${\displaystyle p}$-мерный объём слоёв? Д. Эпстейн (D. Epstein), Д. Салливан (D. Sullivan) и др. выяснили, что ответ положительный только при ${\displaystyle q\leqslant 2}$ (см. Бессе. 1981^[9]).

Позднее возникло «гомотопическое» направление, прообразом которого послужила гомотопическая теория расслоений. Отличия, возникающие для слоений, отчасти связаны с тем, что для слоений, вообще говоря, нет аналога индуцированному расслоению. Это вынуждает перейти от слоений к более общим объектам – структурам Хефлигера (нечто вроде слоения с особенностями), для которых такой аналог имеется.

Слоения ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$ на ${\displaystyle M}$ называется конкордантными, если на «цилиндре» ${\displaystyle M\times [0,1]}$ существует такое слоение (той же коразмерности), слои которого трансверсальны ко «дну» и «крышке» цилиндра и «высекают» на них слоения ${\displaystyle F_{0}}$ и ${\displaystyle F_{1}}$. Сходным образом определяется конкордантность структур Хефлигера. Всякая структура Хефлигера конкордантна такой, которая вне множества «особых точек» на ${\displaystyle M}$ соответствует некоторому слоению, причём выполняются определённые условия о поведении слоёв последнего возле этих точек. В этом смысле структуру Хефлигера можно представить себе как слоение с особенностями. Имеется естественное биективное соответствие между классами конкордантных структур Хефлигера и гомотопическими классами непрерывных отображений ${\displaystyle M}$ в т. н. классифицирующее пространство ${\displaystyle B\Gamma _{q}^{r}}$ (${\displaystyle q}$ указывает коразмерность, ${\displaystyle r}$ – класс гладкости структуры Хефлигера).

Гомотопическая теория устанавливает, какие гомотопические объекты определяют конкордантность слоений: два слоения конкордантны тогда и только тогда, когда они конкордантны как структуры Хефлигера, а их касательные поля гомотопны (см. Haefliger. 1970^[10]; Thurston. 1974^[11]; 1976^[12]). Родственный результат – доказательство существования ${\displaystyle p}$-мерных слоений на любых открытых ${\displaystyle M}$ (см. Haefliger. 1970) и на таких замкнутых ${\displaystyle M}$, на которых существует непрерывное поле ${\displaystyle p}$-мерных касательных подпространств (что является очевидным необходимым условием существования слоения; см. Thurston. 1974; 1976); ранее различными учёными было доказано существование слоений на ряде многообразий путём непосредственных построений (Lawson. 1974^[13]). Идея (см. Thurston. 1974; 1976) состоит в том, чтобы, начав со слоения с особенностями, ликвидировать их путём некоторых модификаций слоения. Случай ${\displaystyle q>1}$ оказывается более простым (см. Thurston. 1974, Lawson. 1977^[14]) и ликвидация особенностей может быть проведена в духе «геометрической» теории (Mишачев. 1977^[15]); случай ${\displaystyle q=1}$ сложнее (Thurston. 1976).

Отображение ${\displaystyle f:M^{n}\to B\Gamma _{q}^{r}}$ порождает отображение когомологий, что приводит к характеристическим классам слоений. В возникающую здесь «гомологическую» или «количественную» теорию слоений (см. Lawson. 1977; Фукс. 1978^[16]; 1981) включаются и некоторые результаты, полученные ранее без обращения к ${\displaystyle B\Gamma _{q}^{r}}$, например инвариант Годбийона – Вея (для ${\displaystyle n=3}$ см. Тамура. 1979) или указанные Р. Боттом (R. Bott) условия, необходимые для того, чтобы непрерывное поле касательных подпространств было гомотопно касательному полю слоения.