Положение равновесия системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Положе́ние равнове́сия систе́мы обыкнове́нных дифференциа́льных уравне́ний

${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$ (*)

точка ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ такая, что ${\displaystyle x=\xi }$ является (постоянным по времени) решением системы ${\displaystyle (*)}$; положением равновесия называется также и само это решение. Точка ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}}$ есть положение равновесия системы ${\displaystyle (*)}$ тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(t,\xi )=0{\text{ при всех }}t}$.

Пусть ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ – произвольное решение системы ${\displaystyle (*)}$. Замена переменных ${\displaystyle x=\varphi (t)+y}$ переводит это решение в положение равновесия ${\displaystyle y=0}$ системы

${\displaystyle {\dot {y}}=F(t,y),\quad F(t,y)\equiv f(t,\varphi (t)+y)-f(t,\varphi (t))}$.

Поэтому, например, в теории устойчивости без ограничения общности можно считать, что речь всегда идёт об исследовании устойчивости положения равновесия в начале координат ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Положение равновесия ${\displaystyle x=0}$ неавтономной системы ${\displaystyle (*)}$ часто называется тривиальным, или нулевым, решением, а термин «положение равновесия» предпочитают использовать в теории автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в теории динамических систем. Здесь употребляется много синонимов этого термина: особая точка, неподвижная точка, стационарная точка, точка покоя, состояние равновесия.