Индуцированное расслоение

Индуци́рованное расслое́ние, расслоение ${\displaystyle f^{*}(\pi ):X'\to B'}$, индуцированное отображением ${\displaystyle f:B'\to B}$ и расслоением ${\displaystyle \pi :X\to B}$, где ${\displaystyle X'}$ – подпространство прямого произведения ${\displaystyle B'\times X}$, состоящее из пар ${\displaystyle (b',x)}$, для которых ${\displaystyle f(b')=\pi (x)}$, а ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ – отображение, определяемое соответствием ${\displaystyle (b',x)\to b'}$. Отображение ${\displaystyle F:f^{*}(X)\to X}$ индуцированного расслоения в исходное расслоение, определённое формулой ${\displaystyle F(b',x)=x}$, является морфизмом расслоений, накрывающим ${\displaystyle f}$. Для каждой точки ${\displaystyle b'\in B}$ ограничения

${\displaystyle F_{b'}:(f^{*}(\pi ))^{-1}(b')\to \pi ^{-1}(f(b'))}$

являются гомеоморфизмами. Кроме того, для любого расслоения ${\displaystyle \eta :Y\to B'}$ и морфизма ${\displaystyle H:\eta \to \pi }$, накрывающего ${\displaystyle f}$, существует один и только один ${\displaystyle B'}$–морфизм ${\displaystyle K:\eta \to f^{*}(\pi )}$, удовлетворяющий соотношениям ${\displaystyle FK=H}$, ${\displaystyle f^{*}(\pi )K=\eta }$, так что имеет место коммутативная диаграмма:

Расслоения, индуцированные изоморфными расслоениями, изоморфны, расслоение, индуцированное постоянным отображением, изоморфно тривиальному.

Для любого сечения ${\displaystyle s}$ расслоения ${\displaystyle \pi }$ отображение ${\displaystyle \sigma :B'\to f^{*}(x)}$, определённое формулой ${\displaystyle \sigma (b')=(b',sf(b'))}$, является сечением индуцированного расслоения ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ и удовлетворяет соотношению ${\displaystyle F\sigma =sf}$. Например, отображение ${\displaystyle \pi :X\to B}$ индуцирует расслоение ${\displaystyle \pi ^{2}}$ с пространством ${\displaystyle \pi ^{*}(x)}$ и базой ${\displaystyle X}$ – квадрат расслоения ${\displaystyle \pi }$, оно обладает единственным сечением ${\displaystyle s(x)=(x,x)}$.